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函數極限
鎖定
- 中文名
- 函數極限
- 外文名
- limit
- 極 限
- 唯一性
- 極限存在
- 還可以求極限
函數極限定義
那麼常數A就叫做函數
當
時的極限,記作
函數極限概念
函數極限可以分成
,而運用ε-δ定義更多的見諸已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。
以
的極限為例,f(x) 在點
以A為極限的定義是: 對於任意給定的正數ε(無論它多麼小),總存在正數
,使得當x滿足不等式
時,對應的函數值f(x)都滿足不等式:
,那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。
如函數極限的唯一性(若極限存在,則在該點的極限是唯一的)
函數極限存在準則
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運算法則求得,需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。
(2)
,那麼,f(x)極限存在,且等於A
不但能證明極限存在,還可以求極限,主要用放縮法。
2.單調有界準則:單調增加(減少)有上(下)界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂,然後再求極限值。二是應用夾逼定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ,並且要滿足極限是趨於同一方向 ,從而證明或求得函數 的極限值。
3.柯西收斂準則
函數極限方法
①利用函數連續性:
②恆等變形
當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,可以通過下面幾個小方法解決:
第二:若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。
第三:以上解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的,如果趨向於無窮,分子分母可以同時除以自變量的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)
當然還會有其他的變形方式,需要通過練習來熟練。
③通過已知極限
特別是兩個重要極限需要牢記。
④採用洛必達法則求極限
洛必達法則:符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。