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單調有界定理
鎖定
- 中文名
- 單調有界定理
- 外文名
- The monotone bounded convergence theorem
- 數學範疇
- 數學分析-純數學
- 數學理論
- 極限理論
- 誕生源
- 微積分
- 意 義
- 給出了數列極限的判定定理
單調有界定理相關概念
單調有界定理單調性
對任一數列{xn},如果從某一項xk開始,滿足
則稱數列(從第k項開始)是單調遞增的。特別地,如果上式全部取小於號,則稱數列是嚴格單調遞增的。
同樣地,如果從某一項k開始,滿足
則稱數列(從第k項開始)是單調遞減的。特別地,如果上式全部取大於號,則稱數列是嚴格單調遞減的。
單調有界定理有界性
對任一數列{xn},如果存在某個實數A使數列的所有項都滿足不等式
恆成立,即
,使得
恆成立,即
,使得
則稱這個數列是有上界的,實數B是數列的一個上界,記做
。
如果一個數列既有上界又有下界,則稱這個數列是有界的。此時,存在一個正數M,使不等式
單調有界定理定理
單調有界數列必有極限。具體地説:
(i)若數列
遞增且有上界,則
(ii)若數列
遞減且有下界,則
單調有界定理證明
設數列{xn}單調遞增且有上界,接下來用戴德金定理證明{xn}必有極限。
分類討論,如果{xn}從第N項開始所有的項都相等(即數列有無窮多個相等的項),那麼由於數列是單調遞增的,當n>N時,有xn=xN,因此對
。即{xn}收斂到xN。
如果{xn}中只有有限項相等,即數列從某項開始嚴格單調遞增,那麼因為{xn}有上界,可取所有{xn}的上界組成一個數集B,並取A=R/B。則:
①由取法可知數集B非空,而{xn}為嚴格單調遞增數列,故
。∴
。
②
。
③∵A中任何元素都不是{xn}的上界,∴
。
又∵B中任何元素都是{xn}的上界,∴
。
故必有
。
∴由戴德金定理可知,存在唯一實數η,使得η要麼是A中的最大值,要麼是B中的最小值。
但無論是哪種情況,
。
④由數集A的意義可知,
。而數列單調遞增,故當
時,
。
⑤由數集B的意義可知,當
時,
。
綜合④⑤可知,當
時,
∴
,即{xn}有極限。
單調有界定理應用
在一般的教科書中,單調有界定理是通過確界原理來證明的,即通過確界原理知道{xn}有上(下)確界α,再證明{xn}收斂於α。事實上,單調有界定理與確界原理等價,既可以由確界原理得到單調有界定理,也可以由單調有界定理得到確界原理。以下是其證法。
問題:試通過單調有界定理證明確界原理。
解:不妨設數集S非空有上界,將所有不小於S中的任一元素的有理數排成一個數列{rn},並令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。為更直觀理解{xn},舉例如下:
設S=[1,2]。第一次,取r1=3,則x1=min{3}=3。第二次,取r2=5,則x2=min{3,5}=3。第三次,取r3=2.5,則x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次,取r4=2.2,則x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此類推。顯然{xn}單調遞減並且有下界(S中任何元素都是{xn}的下界),因此{xn}收斂。設極限為η,並且由上述構造可知,η≤xn≤rn。
利用反證法,
①若η不是S的上界,即存在p∈S,使p>η。取
,根據極限的幾何意義,存在正整數N,使不等式η<xN<η+ε成立。而
,從而xN<p。這與xN不小於S中的任一元素矛盾。
②任取a>0,若對任意k∈S,都有k≤η-a,根據有理數的稠密性(即任何兩個不相等的實數之間必定存在有理數),存在有理數r,使不等式k≤η-a<r<η成立。因為我們把所有不小於S中的任一元素的有理數排成了一個數列{rn},r∈{rn}。這樣一來,就得到η≤r,矛盾。
單調有界定理注意事項
(1)單調有界定理只能用於證明數列極限的存在性,如何求極限需用其他方法;
(2)數列從某一項開始單調有界的話,結論依然成立,這是因為增加或去掉數列有限項不改變數列的極限。
- 參考資料
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- 1. 李成章,黃玉民.數學分析(上冊).北京:科學出版社,2004:31
- 2. 試論單調有界定理及其應用 .知網空間[引用日期2017-07-19]
- 3. 考研數學單調有界定理題型解題技巧 .新東方[引用日期2017-07-19]
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