最小值

在數學分析中，在給定範圍內（相對極值）或函數的整個域（全局或絕對極值），函數的最大值和最小值被統稱為極值（極數）。皮埃爾·費馬特（Pierre de Fermat）是第一位提出函數的最大值和最小值的數學家之一。

如集合論中定義的，集合的最大和最小值分別是集合中最大和最小的元素。 無限集，如實數集合，沒有最小值或最大值。

對於在X上定義的實值函數

，對於X中的所有x，如果滿足

，那麼

就是全局（或絕對）最大點。類似地，對於X中的所有x，如果

，那麼

就是全局（或絕對）最小點，則最大點處的函數值稱為函數的最大值，最小點處的函數值被稱為函數的最小值。

如果域X是度量空間，那麼如果存在

，則

在點

處具有局部（或相對）最大點，使得所有x的

，X在

的距離

內。類似地，對於距離ε內的X中的所有x，如果

，函數具有局部最小點。當X是拓撲空間時，可以使用類似的定義，因為剛才給出的定義可以根據鄰域進行重新表述。

在全體和局部的情況下，可以界定嚴格最值的概念。例如，如果對於

≠

的X中的所有x，我們有

，那麼

是一個嚴格的全局最大點；如果存在

，使得對於

的距離

內的X中的所有x，

≠

，我們有

，

是嚴格的局部最大點。注意，當且僅當它是唯一的全局最大點時，點是嚴格的全局最大點，並且對於最小點也是類似的。 ^[1] 

具有緊湊域的連續實值函數總是具有最大點和最小點。一個重要的例子是其域是實數的閉（有界）間隔的函數（見圖1）。

找到全局最大值和最小值是數學優化的目標。如果函數在閉合間隔上是連續的，則通過最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必須是域內部的局部最大值（或最小值），或者必須位於域的邊界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看內部的所有局部最大值（或最小值），並且還查看邊界上的點的最大值（或最小值），並且取最大值或最小）一個。

費馬定理可以發現局部極值的微分函數，它表明它們必須發生在臨界點。可以通過使用一階導數測試，二階導數測試或高階導數測試來區分臨界點是局部最大值還是局部最小值，給出足夠的可區分性。

對於分段定義的任何功能，通過分別查找每個零件的最大值（或最小值），然後查看哪一個是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

（1）函數

在x = 0時具有唯一的全局最小值。

（2）函數

沒有全局最小值或最大值。雖然x = 0時的一階導數

為0，但這是一個拐點。

（3）函數

在x = 1 / e處的正實數具有唯一的全局最大值。

（4）函數

具有一階導數

和二階導數

。將一階導數設置為0並求解x給出在-1和+1的平穩點。從二階導數的符號，我們可以看到-1是局部最大值，+1是局部最小值。請注意，此函數沒有全局最大值或最小值。

（5）函數| x |在x = 0處具有全局最小值，由於導數在x = 0處不存在，因此不能通過獲取導數來找到。

（6）函數cos（x）在0，±2π，±4π，...無限多的全局最大值，無限多的全局最小值在±π，±3π，...。

（7）函數

具有無限多的局部最大值和最小值，但沒有全局最大值或最小值。

（8）在閉合區間（段）[-4,2]上定義的函數

在

處具有局部最大值，

處的局部最小值，x = 2處的全局最大值，x = -4處的全局最小值。

對於多個變量的函數，也適用相似的條件。例如，在下側的（可放大）圖2中，局部最大值的必要條件與僅具有一個變量的函數的條件相似。關於z（要最大化的變量）的第一個偏導數在最大值為零（圖2中頂部的發光點）。第二偏導數為負。由於可能存在鞍點，這些只是局部最大值的必要條件。為了使用這些條件來求解最大值，函數z也必須是可以區分的。第二個偏導數測試可以幫助將點分類為相對最大值或相對最小值。相比之下，在全局極值識別中，一個變量的函數和多個變量的函數之間存在實質性差異。例如，如果在實線上的閉合間隔上定義的有界可微分函數f具有單個臨界點（這是局部最小值），則它也是全局最小值（使用中間值定理和Rolle定理來證明這一點））。作為函數顯示。 其唯一的關鍵點是（0,0），這是ƒ（0,0）= 0的局部最小值。但是，它不是全局的，因為ƒ（2,3）= -5。

也可以為集合定義最大值和最小值。一般來説，如果有序集S具有最大的元素m，則m是最大元素。此外，如果S是有序集T的子集，並且m是相對於由T誘導的階數的S的最大元素，則m是T中S的最小上限。類似的結果適用於最小元素，最小元素和最大的下限。

在一般的部分順序的情況下，最小元素（小於所有其他元素）不應該與最小元素混淆（沒有更小）。同樣，部分有序集合（poset）的最大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的最大元素m是A的元素，使得如果m≤b（對於任何b在A）然後m = b。元素的最小元素或最大元素是唯一的，但是poset可以具有幾個最小或最大元素。如果一個poset有多個最大元素，那麼這些元素將不會相互比較。

在完全有序的集合或鏈中，所有元素都是相互可比的，所以這樣的集合可以具有至多一個最小元素和最多一個最大元素。然後，由於相互的可比性，最小元素也將是最小元素，最大元素也將是最大的元素。因此，在一個完全有序的集合中，我們可以簡單地使用最小和最大值。如果鏈條是有限的，那麼它總是具有最大值和最小值。如果一個鏈是無限的，那麼它不需要最大或最小。例如，自然數的集合沒有最大值，儘管它具有最小值。如果無限鏈S有界，則集合的閉包Cl（S）偶爾具有最小值和最大值，在這種情況下，它們分別稱為集合S的最大下限和最小上限。 ^[2]