積分不等式

有關函數及其反函數積分的不等式。設f在

上連續，且嚴格增，

，則對任意的a≥0及

有

其中

是

的反函數，等號當且僅當

時成立.這個不等式是楊（Young，W.H.）於1912年建立的.它有明顯的幾何意義：如圖1，圖形OAC與OEB的面積之和不小於矩形OADB的面積。反之，若f，g在

上連續，且嚴格增，

，

，且對任意a，b>0，有

則

。

從楊不等式可以得到一些有用的不等式，如

（也有人稱為楊不等式），其中1/p+1/q=1，p>1，q>1，a，b≥0，等號當且僅當

時成立。若f：

→

，右連續且增，

，則f(x)稱為楊函數。若對楊函數f(x)，定義其右反函數

為：y∈[0，f(0)]時，

；而

時，

。則對a，b≥0，有

等號當且僅當

或

時成立。

楊不等式可以推廣(1989)為

其中f在

上連續，嚴格增，φ，ψ分別在

與

上可微，且同增或同減，等式當且僅當

，或φ在a與

之間為常值，或ψ在f(a)與b之間為常值時成立。當φ，ψ之一增，另一減時不等號反向。一般地，對(0，+∞)上的任意實函數f，g及x>0，y>0，xy≤f(x)+g(y)稱為楊型不等式。楊型不等式成立的一個充分必要條件(1984)是：存在(0，+∞)上的非負函數p，q，常數c及楊函數φ，使

及

上述不等式中的等號成立，當且僅當p(x)=q(y)=0，且φ(x)=y或

時。 ^[1] 

赫爾德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情況，此時的赫爾德不等式稱為施瓦茲不等式，有時也稱為柯西不等式或布尼亞科夫斯基不等式。

見施瓦茲不等式。

（1）對所有的正實數

有

更一般地，對

時有

當且僅當

時等號成立。這個不等式叫閔可夫斯基不等式。 ^[2] 

（2）設E為

中的勒貝格可測集，f(x)，g(x)為E上p次

實值可積函數，則f(x)+g(x)是E上p次可積函數，並且：

上述不等式稱為閔可夫斯基不等式。當p>1時，閔可夫斯基不等式中等號成立當且僅當存在兩個不全為零的常數

，

，使得：

（3）序列形式的閔可夫斯基不等式。

設

為兩個實數列，滿足條件

則

上面不等式中等號成立當且僅當存在兩個不全為零的常數

，

，使得

有關凸函數的一個不等式。它的離散形式是

式中f是I上的凸函數，

，

，

，等號當且僅當

或f是線性函數時成立；

延森不等式的積分形式是

式中I是區間，f在包含x(I)的區間上是凸函數，函數x在I上可積，q(t)≥0，且

等號當且僅當x是常值函數或f是線性函數時成立。上述不等式等價於

式中

不全為0，非負，f同上；

式中p(t)>0，其他條件同上。

以上不等式中，I可以換成凸集(這時積分應為勒貝格積分)。當f是凹函數時不等號反向。適當地選擇f，

或函數q，可以得到許多著名的不等式。例如，取f(x)=-ln x(x>0)及

，可以得到平均不等式與赫爾德不等式。離散形式的延森不等式是赫爾德(Ho¨lder，O.L.)於1889年得到的，積分形式是延森(Jensen，J.L.W.V.)於1906年建立的。 ^[1]