分部積分法

分部積分法：設

及

是兩個關於

的函數，各自具有連續導數

及

，且不定積分

存在，按照乘積函數求微分法則，則有

存在，且得分部積分公式如下 ^[1] 

證明：由

或

對上式兩邊求不定積分，即得分部積分公式，也將其簡寫為

如果將

和

用微分形式寫出，則亦可得出

上兩式就把

的積分轉化為

的積分，即將複雜的被積函數簡單化。

例如，要求

，則依分部積分法則，令

如此

則按上述公式有

一般地，從要求的積分式中將

湊成

是容易的，但通常有原則可依，也就是説不當的分部變換不僅不會使被積分式得到精簡，而且可能會更麻煩。分部積分法最重要之處就在於準確地選取

，因為一旦

確定，則公式中右邊第二項

中的

也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取

則要依

的複雜程度決定，也就是説，選取的

一定要使

比之前的形式更簡單或更有利於求得積分。依照經驗，可以得到下面四種典型的模式。 ^[2]  記憶模式口訣：反（函數）對（數函數）冪（函數）指（數函數）三（角函數）。

通過對

求微分後，

中的

比

更加簡潔，而

與

的類型相似或複雜程度相當。

例如，對於形如

的不定積分（其中

為

次多項式），由於對多項式求微分可以降次，且三角函數或指函數的積分則較容易求得，所以可以令

，而將另一個函數看成

通過分部求得積分。 ^[2] 

例如 求

首先，

對該式第二項再按此模式進行分部積分，得

故原式

通過對

求微分使得它的類型與

的類型相同或相近，然後將它們作為一個統一的函數來處理。例如對形如

等的積分，總是令

，則

則為一個

次的多項式，另一個函數（

等）看成

。通過分部積分，很容易求出不定積分。 ^[2] 

例如，求

而該式第二項為

故原積分式

利用有些函數經一次或二次求微分後不變的性質，通過一次或二次分部積分後，使等式右端再次產生

，只要它的係數不為1，就可以利用解方程的方法求出原積分

。 ^[2] 

例如，對於積分

和

按法則對他們進行分部積分得

這樣，所求積分均由另一個積分所表示出來，將這兩式相加和相減（即解方程）得到所求積分表達式

以及

這兩個通用表達式就可以求出該類型的所有積分式，比如

對某些形如

的不定積分，利用分部積分可降低

的次數，求得遞推公式，然後再次利用遞推公式，求出

。 ^[3] 

例如，對於積分

當

時，

當

時，

而該式的第二項又可變換為 ^[4] 

將其帶入上式，則得到

故

最後，得到統一的遞推關係式

與不定積分的分部積分法一樣，可得 ^[3] 

簡寫為

例1：

例2 ^[5]  ：

回代即可得到

的值。