微分

設M為光滑流形，U為M的開集，𝓕U為U上光滑函數代數，p∈U，f∈𝓕U。則f在p的微分為對偶空間T^*_pM的元，定義為 ^[5] 

df(p)(v):=v(f)，v∈T_pM。

微分為線性映射d:A₀(M)→A₁(M)。

d(fg)=fdg+gdf。

{dxⁱ(p)}為與{∂/∂xⁱ(p)}對偶的基。 ^[5] 

早在希臘時期，人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想；雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些討論的論證和結論都很荒謬，但無可否認，這些討論是人類發展微積分的第一步 ^[3]  。

例如公元前五世紀，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。

其他關於無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論：其中一個悖論説一個人永遠都追不上一隻烏龜，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾説這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾説的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啓了人類對無窮、極限等概念的探討，對後世發展微積分有深遠的歷史意味。

另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛好相反。

中世紀時期，歐洲科學發展停滯不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什麼突破。中世紀以後，歐洲數學和科學急速發展，微積分的觀念也於此時趨於成熟。在積分方面，一六一五年，開普勒（Kepler）把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學生卡瓦列裏（Cavalieri）即認為一條線由無窮多個點構成；一個面由無窮多條線構成；一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。

在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函數的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當於現代微分學中所用，設函數導數為零，然後求出函數極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過「微分三角形」（相當於以dx、dy、ds為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。

然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」聯繫起來，説明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的里程碑。

設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不隨Δx改變的常量，但A可以隨x改變），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應於因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故説函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數因變量的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關於△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，並稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴於△x的常數， o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y = f(x)在點x0是可微的。 AΔx叫做函數在點x0相應於自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出： 當△x→0時，△y≈dy。 導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(X)，我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變量的增量等於自變量的微分），還可表示為dy=f′(X)dX。 ^[4] 

設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫座標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱座標上的增量，dy是曲 線在點M的切線對應Δx在縱座標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。 ^[4] 

當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。一元微分又叫常微分。

當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數），但仍然有微分的概念。

設f是從歐幾里得空間（或者任意一個內積空間）中的一個開集射到

的一個函數。對於

中的一點x及其在

中的鄰域

中的點x+h。如果存在線性映射A使得對任意這樣的x+h,

那麼稱函數f在點x處可微。線性映射A叫做f在點x處的微分，記作

。

如果f在點x處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數 ^[2]  。

當函數在某個區域的每一點x都有微分

時，可以考慮將x映射到

的函數：

這個函數一般稱為微分函數。

如果f是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。

在Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裏，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

設f是從Rn射到Rm的函數，f=(f1,f2,...fm)，那麼：

具體來説，對於一個改變量：

，微分值：

可微的必要條件：如果函數f在一點x_0處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素

都存在，但反之不真。

可微的充分條件：如果函數f在一點x_0的雅克比矩陣的每一個元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真。

函數

是一個從R2射到R3的函數。它在某一點(x, y)的雅可比矩陣為：

微分為：

，也就是：

我們對函數y進行微分，得出導數

，由於微分只進行了一次，所以

又被稱為一階導數。

這時，我們微分

，得出

，那麼

被稱為二階導數。

同理，我們可以得到三次導數及更高次的導數，

（n

2）被稱為n階導數。 ^[2] 

需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往採用作圖法，將該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。然而，畫出來的切線是有誤差的，也就是説，以作圖法得到的斜率並不是完全準確的斜率 ^[2]  。微分最早就是為了從數學上解決這一問題而產生的。

以y=x² 為例，我們需要求出該曲線在(3,9)上的斜率，當△x與△y的值越接近於0，過這兩點直線的斜率就越接近所求的斜率m，當△x與△y的值變得無限接近於0時，直線的斜率就是點的斜率。

當x = 3 +Δx 時，y = 9+ Δy，也就是説，

（展開）

（兩邊減去9）

（兩邊除以△x）

∵

（m為曲線在(3,9)上的斜率，

為直線斜率）

∴

我們得出，

在點(3,9)處的斜率為6。

在很多情況下，我們需要求出曲線上許多點的斜率，如果每一個點都按上面的方法求斜率，將會消耗大量時間，計算也容易出現誤差，這裏我們仍以

為例，計算圖象上任意一點的斜率m。

假設該點為(x,y)，做對照的另一點為(

,

)，我們按上面的方法再計算一遍：

（展開）

（

，兩邊減去y）

（兩邊除以△x）

∵

∴

我們得出，y=x² 在點(x,y)處的斜率為2x。

通過以上的方法，我們可以得出x的二次函數在任意一點上的斜率，但是這遠遠不夠。我們需要把這種方法擴充到所有的冪函數。假設有函數

，假設函數上有一點(x,y)和另一點(x+Δx,y+Δy) ，我們可以這樣計算斜率：

（二項展開式）

（

）

（兩邊除以△x）

（加上極限）

（其他項均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等於0）

我們得出，

在點(x,y)處的斜率為

。

我們可以把冪函數的斜率擴展到單項式函數

的斜率，依然假設有兩點(x,y)和

：

（二項展開式）

（

,兩邊減去y）

（兩邊除以△x）

（加上極限）

（其他項均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等於0）

我們得出，

在點(x,y)處的斜率為

。

這就是微分的基本公式，“基本法則”目錄有詳細的説明。

被記作dy/dx=m 。

當函數為單項式

（a和n為常數）的形式時，有基本公式：

注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運算法則前請務必牢記。

當函數為幾個

形式的單項式的和或差時，這個函數的導數只需在原函數的導數上進行加減即可。

以函數

為例，將其拆分為兩個函數

和

，且

。

可以得出

，

。

y=u+v

同理可以得出

最後得出公式：

有了這兩個公式，我們可以對大部分常見的初等函數求導。

注意：f'(x)是函數f(x)的導數。

（微分連鎖律）

（微分乘法律）

（微分除法律）

假設正弦函數y=sin x（x的單位為弧度）上有一點(x,y)和另一點(x+δx,y+δy)：

d/dx(sin x)

=limδx→0 δy/δx

=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx

=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （兩邊除以2）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx

=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）

=cos x

最後得出d/dx(sin x)=cos x。

我們知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。

假設π/2-x=u，我們可以用連鎖律對餘弦函數y=cos x求導：

d/dx(cos x)

=d/dx[sin (π/2-x)]

=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （連鎖律）

=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）

=-cos (π/2-x)

=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）

最後得出d/dx(cos x)=-sin x。

由於正切函數tan x=(sin x)/(cos x)，我們可以用除法律對其求導：

d/dx(tan x)

=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）

=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）

=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

最後得出d/dx(tan x)=sec^2 x。

當我們遇到y=sin/cos/tan u（u是自變量為x的函數且常為ax+b的形式）這類函數的時候，可以使用連鎖律求導：

①y=sin u

d/dx(sin u)

=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）

=(cos u)(du/dx)

當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：

②y=cos

當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：

③y=tan u

d/dx(tan u)

=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）

=(sec^2 u)(du/dx)

當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：

有時我們需要對y=sin^n x或y=cos^n x（n為常數）這類函數求導，使用連鎖律也可以解決：

這裏我們使用“連鎖律的應用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)

①y=sin^n x

dy/dx

=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)

=n[sin^(n-1) x](cos x)

②y=cos^n x

dy/dx

=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)

=-n[cos^(n-1) x](sin x)

得出公式：

在畫圖軟件裏，我們可以看出在函數y=e^x上任意一點(x,y)的斜率均等於y。也就是説，m=dy/dx=y。

因此，函數e^x的導數由以下公式獲得

證明：y=e^x,

y+dy=e^(x+dx),

dy=e^(x+dx)-e^x

=e^x(e^dx-1)

=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!（n∈N）}

≈dxe^x

我們可以使用連鎖律對y=e^u（u是自變量為x的函數）求導：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）

=[d/du(e^u)](du/dx)

=(e^u)(du/dx)

最後得出：

如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那麼du/dx=a，可以得出：

我們可以通過d/dx(e^x)=e^x對自然對數函數y=ln x求導：

y=ln x

x=e^y

d/dx(x)=d/dx(e^y)

d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （連鎖律）

d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)

(e^y)(dy/dx)=1

x(dy/dx)=1 （x=e^y）

dy/dx=1/x

最後得出：

我們可以使用連鎖律對y=ln u（u是自變量為x的函數）求導：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）

=[d/du(ln u)](du/dx)

=(1/u)(du/dx)

可以得出：

如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那麼du/dx=a，可以得出：

d/dx(sin x)=cos x

d/dx(cos x)=-sin x

d/dx(tan x)=sec^2 x

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

d/dx(e^x)=e^x

d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)

d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

d/dx(ln x)=1/x

d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)

d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

我們知道，曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。

假設函數y=f(x)的圖象為曲線，且曲線上有一點(x1,y1)，那麼根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率m：

m=dy/dx在(x1,y1)的值

所以該切線的方程式為：

由於法線與切線互相垂直，法線的斜率為-1/m且它的方程式為：

微分是一個鑑別函數（在指定定義域內）為增函數或減函數的有效方法。

鑑別方法：dy/dx與0進行比較，dy/dx大於0時，説明dx增加為正值時，dy增加為正值，所以函數為增函數；dy/dx小於0時，説明dx增加為正值時，dy增加為負值，所以函數為減函數。

例1：分析函數y=x^2-1 的增減性

∵y=x^2-1

∴dy/dx=2x

當x>0時，dy/dx>0，所以函數y=x^2-1在x>0時是增函數；

當x<0時，dy/dx<0，所以函數y=x^2-1在x<0時是減函數 ^[2]  。

微分在日常生活中的應用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。

比如説，有一個水箱正在加水，水箱裏水的體積V（升）和時間t（秒）的關係為V=5-2/(t+1)，

在t=3時，我們想知道此時水加入的速率，於是我們算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3後得出dV/dt=1/8。

所以我們可以得出在加水開始3秒時，水箱裏的水的體積以每秒1/8升的速率增加。