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全微分
鎖定
如果函數z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
可以表示為
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依賴於Δx, Δy，僅與x,y有關，ρ趨近於O(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此時稱函數z=f(x, y)在點（x，y）處可微分，AΔx+BΔy稱為函數z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dz即
dz=AΔx +BΔy
該表達式稱為函數z=f(x, y) 在(x, y)處(關於Δx, Δy)的全微分。
全微分全增量
為了引進全微分的定義，先來介紹全增量。
設二元函數z = f (x, y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，當變量x、y點(x,y)處分別有增量Δx，Δy時函數取得的增量。
稱為 f (x, y)在點(x,y)的全增量。
全微分定義
如果函數z = f (x, y)在點(x,y)的全增量
可表示為
其中A 、B僅與x、y 有關，而不依賴於Δx 、Δy，
，則稱函數z = f (x, y)在點(x,y)處可微分， AΔx+BΔy稱為函數z = f (x, y)在點(x,y)處的全微分。記作dz，即
。
函數若在某平面區域D內處處可微時，則稱這個函數是D內的可微函數，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數。
全微分定理
定理1
如果函數z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處可微，則z=f（x，y）在p0（x0，y0）處連續，且各個偏導數存在，並且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。
定理2
若函數z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處的偏導數f′x，f′y連續，則函數f在點p0處可微。
定理3
若函數z = f (x, y)在點(x, y)可微分，則該函數在點(x,y)的偏導數
必存在，且函數z = f (x, y)在點(x,y)的全微分為：
全微分判別可微方法
1.若f (x,y)在點(x0, y0)不連續，或偏導不存在，則必不可微；
2.若f (x,y)在點(x0, y0)的鄰域內偏導存在且連續必可微；
極限、連續、可導、可微的關係
這幾個概念之間的關係可以用圖1表示：
圖1 極限、連續、可導、可微的關係
