微分連鎖律

當需要微分(x+1)²時，我們可以將其展開成為x²+2x+1後對其求導，得到2x+2。然而，當我們遇到類似(3x+1)⁵這樣的式子時，將其展開將浪費許多時間和精力，這時我們可以使用連鎖律來解決這個問題。

連鎖律的基本公式為：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

假設y=f(x)且z=f(y)：

∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx)

∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

又∵當δx→0時,δz→0

∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

得出公式：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

以y=(3x+1)⁵為例，使用連鎖律求導：

假設z=3x+1，y=z⁵。

d/dx[(3x+1)⁵]=dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx)

=[d/dz(z⁵)]×[d/dx(3x+1)]

=(5z⁴)(3)

=15z⁴

=15(3x+1)⁴

這樣我們就可以輕鬆得出(3x+1)⁵的導數 ^[1]  。

連鎖律一般被用來求yⁿ的導數（y=f(x)且n為常數），我們可以用連鎖律獲得更簡單的公式。

以(ax+b)ⁿ為例，假設y=ax+b：

d/dx(yⁿ)

=d/dy(yⁿ)×dy/dx （連鎖律）

=[ny^(n-1)](a)

=any^(n-1)

=an(ax+b)^(n-1)

可以得出：

有時，n的值會是-1，我們也可以使用連鎖律。

d/dx(1/y)

=d/dx[y^(-1)]

=[-y^(-2)]×(dy/dx) （連鎖律）

=(-1/y²)(dy/dx)

有的時候n的值是其他負數：

d/dx(1/yⁿ)

=d/dx[y^(-n)]

=[-ny^(-n-1)]×(dy/dx) （連鎖律）

=[-n/y⁽ⁿ⁺¹⁾](dy/dx)

最後得出：

在日常生活中，n除經常取整數外，還經常取1/2，即y=√z。

同樣以y=√z（z是自變量為x的函數）為例，使用剛得到的公式進行求導：

dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx) （連鎖律）

=[0.5z^(-0.5)](dz/dx)

得出另一個公式：d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)

以上幾個公式可以在大多數情況下代替連鎖律使用，它們比連鎖律更容易使用。

dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

d/dx(yⁿ)=[ny^(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)ⁿ]=an(ax+b)^(n-1)

d/dx(1/y)=(-1/y²)(dy/dx)

d/dx(1/yⁿ)=[-n/y⁽ⁿ⁺¹⁾](dy/dx)

d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y) ^[1]