函數代數

設X為緊豪斯多夫空間，則所有連續函數f:X→

的集合記為C(X)。C(X)的包含常數函數且分離點的閉子代數為交換代數 ^[3]  ，稱為函數代數。 ^[2] 

由於f為連續函數，X為緊空間，f的值域為

的緊集，故C(X)中的函數f均為有界，故|f|的上確界均有限， ^[3]  在sup範數

下，C(X)為巴拿赫代數。在等距對合

下，C(X)為C*代數。C(X)的單位元為常數函數。故C(X)為含單位元的C*代數。 ^[2] 

C(X)的極大理想，是C(X)中所有在集X中某一固定點x₀取值為0的函數組成，故C(X)的極大理想與X中的點之間可以建立一一對應關係。 ^[6] 

根據Gelfand-Naimark定理，緊豪斯多夫空間範疇與交換含單位元C*代數範疇等價。 ^[5] 

若Y為局部緊豪斯多夫空間，但不是緊空間，C₀(Y)為Y上在無窮遠消失的復值連續函數代數。

給定Y中任意y，存在計算特徵標χ_y:C₀(Y)→

，χ_y(f)=f(t)。

C₀(Y)的所有特徵標均為計算特徵標，且映射Y→

為拓撲等價。故能從C₀(Y)的特徵還原Y。

定義Y⁺=Y∪{∞}為Y的一點緊化。則C(Y⁺)中滿足f(∞)=0的子代數與C₀(Y)⁺同構。C₀(Y)是無單位元的C*代數。反之，若去掉緊豪斯多夫空間X的一個非孤點x₀，則Y=X\{x₀}為局部緊豪斯多夫空間但不是緊空間，Y⁺=X，C₀(Y)={h∈C(X):h(x₀)=0}。 ^[2] 

設X是一個緊可度量化空間。ψ為C(X)上任何正線性泛函，X上存在博雷爾正測度μ使得

ψ(f)=∫fdμ，∀f∈C(X)。 ^[4] 

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發佈。

《數學名詞》第一版。 ^[1]