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牛頓-萊布尼茨公式

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牛頓-萊布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。 [1] 
牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式， [2]  1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。 [1]  因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。 [1] 
中文名
牛頓-萊布尼茨公式
外文名
Newton-Leibniz formula
分    類
數學
別    名
微積分基本定理
提    出
牛頓 萊布尼茨
提出時間
1677年

目錄

  1. 1 定理定義
  2. ▪ 定義
  3. ▪ 弱化條件
  4. 2 公式推導
  1. ▪ 推導一
  2. ▪ 推導二
  3. 3 定理推廣
  4. ▪ 二重積分形式
  5. ▪ 曲線積分形式
  1. 4 發展簡史
  2. 5 定理意義
  3. 6 公式應用

牛頓-萊布尼茨公式定理定義

牛頓-萊布尼茨公式定義

如果函數
在區間
上連續，並且存在原函數
，
則
[1] 

牛頓-萊布尼茨公式弱化條件

如果函數
區間
上有定義，並且滿足以下條件：
（1）在區間
上可積；
（2）在區間
上存在原函數
；
則
[3] 

牛頓-萊布尼茨公式公式推導

牛頓-萊布尼茨公式推導一

定義一個變上限積分函數
，讓函數
獲得增量
，則對應的函數增量
根據積分中值定理可得，
，（ξ在x與x+Δx之間）
，
所以
，
因為
，所以
，即
所以
即
證畢。 [1] 

牛頓-萊布尼茨公式推導二

因為函數
在區間
上可積，任取區間
的分割
在區間
上任取一點
，則有
其次，對於分割
，有
在區間
上對函數
應用拉格朗日中值定理得
其中
因此有
證畢。 [3] 

牛頓-萊布尼茨公式定理推廣

牛頓-萊布尼茨公式二重積分形式

設函數
在矩形區域
上連續，如果存在一個二元函數
，使得
，
則二重積分
[4] 

牛頓-萊布尼茨公式曲線積分形式

與格林公式和高斯公式的聯繫 與格林公式和高斯公式的聯繫
設D為單連通區域，
與
在區域D上有連續的一階偏導數，
若存在一個二元函數
，使得
在區域D中任意取兩個點
，則對連接
的任意一條光滑曲線L，
都有
[4] 

牛頓-萊布尼茨公式發展簡史

牛頓-萊布尼茨公式 牛頓-萊布尼茨公式
1670年，英國數學家伊薩克·巴羅在他的著作《幾何學講義》中以幾何形式表達了切線問題是面積問題的逆命題，這實際是牛頓-萊布尼茨公式的幾何表述。 [5] 
1666年10月，牛頓在它的第一篇微積分論文《流數簡論》中解決了如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題，並討論瞭如何根據這種運算求解曲線圍成的面積，首次提出了微積分基本定理。 [2] 
德國數學家萊布尼茨在研究微分三角形時發現曲線的面積依賴於無限小區間上的縱座標值和，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理：給定一個曲線，其縱座標為y，如果存在一條曲線z，使得dz/dx=y，則曲線y下的面積∫ydx=∫dz=z。 [6] 

牛頓-萊布尼茨公式定理意義

牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。
牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。 [7] 
牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。 [8] 

牛頓-萊布尼茨公式公式應用

牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，利用該公式可以計算曲線的弧長，平面曲線圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實際問題中有廣泛的應用，例如計算壩體的填築方量。 [1]  [9] 
牛頓-萊布尼茨公式在物理學上也有廣泛的應用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做的功以及物體之間的萬有引力。 [1] 
牛頓-萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展，該公式在微分方程，傅里葉變換，概率論，複變函數等數學分支中都有體現。
參考資料
  • 1.    同濟大學數學系．高等數學（第六版）上冊：高等教育出版社，2007年：239頁
  • 2.    I.B.科恩，葛顯良（譯）．牛頓傳：科學出版社，1989年
  • 3.    伍勝健．數學分析（第二冊）：北京大學出版社，2010年
  • 4.    李信明.牛頓——萊布尼茲公式的推廣.濰坊學院學報,2001,1(2);23-24
  • 5.    伊薩克·巴羅  ．中國科普網[引用日期2015-10-30]
  • 6.    （美）B.波耶著；上海師範大學數學系翻譯組譯．微積分概念史 對導數與積分的歷史性的評論：上海人民出版社，1979,09
  • 7.    胡振媛.對“微積分基本定理”的認識和理解.成都教育學院學報,2000,14(3);23-24
  • 8.    賽鬧爾再.試論牛頓--萊布尼茨公式[J].才智,2013,(32):34-34.
  • 9.    胡義鋒.定積分在壩體填築計量中的應用[J].人民長江,2003,34(3):35-36.DOI:10.3969/j.issn.1001-4179.2003.03.016.