流數

所謂“流量”就是隨時間而變化的自變量如x、y、s、u等，“流數”就是流量的改變速度即變化率，寫作等。他説的“差率”“變率”就是微分。與此同時，他還在1676年首次公佈了他發現的二項式展開定理。牛頓利用它還發現了其他無窮級數，並用來計算面積、積分、解方程等等。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書裏指出，變量是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。微積分是建立在實數、函數和極限的基礎上的。

《流數法和無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，英國數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家牛頓著。撰於1671年。這是牛頓在數學方面的代表作，其中將1666年10月的流數短論進行了擴充。其英譯本於1736年出版，但原拉丁文本直到1779年才出版。牛頓生前一直在利用這部著作，其手稿形式便由於一些數學家借閲而廣為人知 ^[1]  。

《流數法與無窮級數》對於牛頓的流數分析方法提供了比《運用無窮多項方程的分析學》更一般、更好的闡述。其前一部分包含了後一本書的擴充，並且包括用於求解代數方程和微分方程的無窮級數法（待定係數法）的詳細討論。接着，以20個正式敍述的問題為標題，相當廣泛地收集了牛頓的級數法和流數法的應用實例。“流數法”反映了這一理論的力學背景，流數被定義為可借運動描述的連續量——流量的變化率。牛頓表述流數法的基本問題為：已知流量間的關係，求它們的流數的關係以及逆運算。在“問題3一一極大值和極小值的確定”中，牛頓給出了下述原理：當一個量取極大值或極小值時，它的流數既不增加也不減少……所以求出它的流數，併合迄今流數等於零。這裏，牛頓的意思是，使f’(x)=0的點即是f（x）的極值點。他列舉了能用這種方法求解的9個幾何問題，如問題4是作曲線的切線。在該書中，牛頓繼續使用無窮小瞬作為流數計算的基礎，他記時間的瞬為0，它所引起的流量的瞬為 ， ，…他在具體計算中指出那些含0的項可被看作零而略去

《流數法與無窮級數》中還包括兩個積分表。第一個表的標題是：“與直線圖形有關的曲線一覽表”，其中列出了相應的面積能夠通過微分或反微分明確算出的一些曲線。第二個表是：“與圓錐曲線有關的曲線一覽表”，其中列出了一些曲線，其相應的面積能夠通過適當的圓錐曲線下的面積來表示。牛頓列舉了一些面積的計算，以説明他的積分表的應用。

在該著作的一個附錄（1969年才首次發表）中，牛頓發展了一種曲線的“最初與最終比”的幾何理論，後來部分地納入了1687年出版的《自然哲學的數學原理》第一編第一章及後來的《論曲線的求積》中 ^[2]  。

流數的出現，成了數學發展中除幾何與代數以外的另一重要分支——數學分析（牛頓稱之為“藉助於無限多項方程的分析”），並進一步進進發展為微分幾何、微分方程、變分法等等，這些又反過來促進了理論物理學的發展。例如瑞士J.伯努利曾徵求最速降落曲線的解答，這是變分法的最初始問題，半年內全歐數學家無人能解答。1697年，一天牛頓偶然聽説此事，當天晚上一舉解出，並匿名刊登在《哲學學報》上。伯努利驚異地説：“從這鋒利的爪中我認出了雄獅”。

牛頓在前人工作的基礎上，提出“流數(fluxion)法”，建立了二項式定理，並和G.W.萊布尼茨幾乎同時創立了微積分學，得出了導數、積分的概念和運算法則，闡明瞭求導數和求積分是互逆的兩種運算，為數學的發展開闢了一個新紀元。目前在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學個分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷髮展 ^[3]  。