二项式

[èr xiàng shì]

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只有两项的多项式

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初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。^[1]

二项式是仅次于单项式的最简单多项式。

中文名: 二项式
外文名: binomial
地位: 单项式外的最简多项式

定义: 只有两项的多项式
意义: 两个单项式的和
适用范围: 数理科学

目录

1运算法则
2形式
▪线性形式

▪复数形式
3定理
4组合数

▪系数性质
▪赋值法
5数形趣遇

运算法则

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与因子相乘

二项式与因子 c 的乘法可以根据分配律计算：

两叠遥二项嚷谅碑式相乘

两个二项式a+b与c+d的乘法可以通过两次分配律得到：

两个线性二项式ax+b与 cx+d 的乘积为：

二项祝主式平方

二项式a+b的平方为

二项式a-b的平方为

二项式的幂

(a+b)^n的二项式a + b的n次幂可以用二项式定理或者等价的杨辉三角形展开。

二项式因式危察习分解

二项式可以因式分解为另外两个二项式的乘积：

二项式才促的挨归府祖多组乃递推

推广公式

二项式展开后各项的系数依次为：图——推广公式其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为

这就是二项式展开“系数递推”的依据。二项式系数递推实际上是组合数由棕循艰自然数到实数的递推。

形式

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线性形式

如果二项式的形式为ax+b（其中a与b是常数，x是变量），那么这个二项式是线性的。

复数形式

复数是形式为a+bi的二项式，其中i是-1的平方根。

定理

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binomial theorem

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：

（其中

）

其中，二项式系数指

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项公式为

其i项系数可表示为n取i的组合数目。

组合数

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1、

2、

3、

证明：由

可得

当a=b=1时，代入二项式定理可证明1

当a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2

4.组合数的性质：

（1）

（2）

（3）

系数性质

①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

②增减性和最大值：先增后减

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为

,

^[2]

赋值法

掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想。

证明：n个a+b相乘，是从a+b中取一个字母a或b的积。所以

的展开式中每一项都是

的形式。对于每一个

，是由k个a+b选了a，a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数）,n-k个a+b选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。

二项式系数之和：2n

而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于

二项式定理的推广：

二项式定理推广到指数为非自然数的情况：

形式为

.

数形趣遇

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二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项，用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数。简图如下：

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…… 15 20 15 6 …

1 …… 35 35 21 ……

… 70 56 …

图上得到=70，=56

故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【点评】“式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短。

杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图，对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答。

杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果。这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透。

利用二项式推出牛顿切线法开方

开立方公式：

设A = X^3，求X.称为开立方。开立方有一个标准的公式：

例如，A=5，,即求

5介于1的3次方至2的3次方之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：

第一步：

,即

，

，

，

。即取2位数值,即1.7。

第二步：

,即

，

，

，

。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：

第四步：

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。即

;当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，...1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 。当然，我们在实际中初始值采用中间值，即1.5。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们取中间值2.5。第一步：

；

即

，取2位数2.2。

第二步：

；

即

。取3位数。

第三步：

。

即

.每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

展开。带入公式就是开方公式。

,　即牛顿切线法就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。

二项式定理的证明采用数学归纳法可行。

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