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極值點
鎖定
- 中文名
- 極值點
- 外文名
- extreme point
- 涉及學科
- 數學
- 來源於
- 最大最小值求解問題
- 分 為
- 極大值點;極小值點
- 性 質
- 局部範圍內的比較
極值點定義
設函數
在區間
有定義，
，若
，
有
（或
），則稱
是函數
的一個極大值（或極小值），
是函數
的一個極大值點（或極小值點）。極大值與極小值統稱為極值；極大值點與極小值點統稱為極值點。上面的不等號若嚴格成立，則稱為嚴格極值點，對應函數值稱為嚴格極值。
[1]
函數圖
函數圖
注意：
（1）極值點只關心
在
內的局部函數值，不關心是否可導。因此函數
在極值點
處可能不可導，如
在
處不可導。
（2）極值點是函數圖像的某段子區間內上極大值或者極小值點的橫座標。
（3）極值點出現在函數的駐點（導數為0的點）或不可導點處（導函數不存在，也可以取得極值，此時駐點不存在）。
（4）可導函數
的極值點必定是它的駐點。但是反過來，函數的駐點卻不一定是極值點，例如
,點
是它的駐點，卻不是它的極值點。
（5）
極值點上的導數為零或不存在，且函數的單調性必然變化。
極值點定理
若函數
在
處可導，且
是函數
的極值點，則
極值點判別方法
（1）若函數
可導
【第一判別法】若函數
可導，
，且
，
有
（或
）同時，
有
（或
），則
是函數
的極大點（或極小點）
【第二判別法】若函數
存在二階導數，
是函數
的穩定點，即
，而
，則當
時，
是函數
的極小點；當
時，
是函數
的極大點。
極值點計算方法
（1）單變量函數的極值求法
a. 求導數
;
b. 求方程
的根；
c. 檢查
在函數圖象左右的值的符號，如果左正右負，那麼
在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼
在這個根處取得極小值。
特別注意：
無意義的點也要討論，即可先求出
的根和
無意義的點，這些點都稱為可疑點，再用定義去判斷。 例如：
在
的導數是不存在的。
（2）二階連續偏導數的函數
的極值求法，敍述如下：
a. 解方程組
，
，求得一切實數解，即可求得一切駐點；
b. 對於每一個駐點
，求出二階偏導數的值
；
c. 定出
的符號，判定
是否是極值，是極大值還是極小值。
注意：當函數僅在區域D內的某些孤立點
不可導時，這些點不是函數的駐點，但這種點有可能是函數的極值點，要注意另行討論。
極值點極值點與穩定點
方程
的解
，即
稱為函數
的穩定點
