待定係數法

一般用法是，設某一多項式的全部或部分係數為未知數，利用兩個多項式恆等式同類項係數相等的原理或其他已知條件確定這些係數，從而得到待求的值。例如，將已知多項式分解因式，可以設某些因式的係數為未知數，利用恆等的條件，求出這些未知數。求經過某些點的圓錐曲線方程也可以用待定係數法。從更廣泛的意義上説，待定係數法是將某個解析式的一些常數看作未知數，利用已知條件確定這些未知數，使問題得到解決的方法。求函數的表達式，把一個有理分式分解成幾個簡單分式的和，求微分方程的級數形式的解等，都可用這種方法 ^[1]  。

對於某些數學問題，如果已知所求結果具有某種確定的形式，則可引進一些尚待確定的係數來表示這種結果，通過已知條件建立起給定的算式和結果之間的恆等式，得到以待定係數為元的方程或方程組，解之即得待定的係數。廣泛應用於多項式的因式分解，求函數的解析式和曲線的方程等 ^[2]  。

待定係數法是初中數學的一個重要方法。用待定係數法分解因式，就是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積，這些因式中的係數可先用字母表示，它們的值是待定的，由於這些因式的連乘積與原式恆等，然後根據恆等原理，建立待定係數的方程組，最後解方程組即可求出待定係數的值。在初中競賽中經常出現 ^[3]  。

分解因式：X³-4x²+2x+1

猜根猜出x=1是原因式=0的一個解

解：令原式=(x-1)(x²+ax+b)=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b

因為x³-4x²+2x+1=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b

所以a-1=-4 b-a=2 -b=1

a=-3 b=-1

∴x³-4x²+2x+1=(x-1)(x²-3x-1)

（1）確定所求問題含待定係數的一般解析式；

（2）根據恆等條件，列出一組含待定係數的方程；

（3）解方程或消去待定係數，從而使問題得到解決。

例如：“已知x²-5=（2-A）·x²+Bx+C，求A，B，C的值．”解答此題，並不困難．只需將右式與左式的多項式中的對應項的係數加以比較後，就可得到A，B，C的值．這裏的A，B，C是有待於確定的係數，這種解決問題的方法就是待定係數法．

一、確定所求問題含待定係數的解析式。

上面例題中，解析式就是:

（2-A）· x^2+Bx+C

二、根據恆等條件，列出一組含待定係數的方程。

在這一題中，恆等條件是：

2-A=1 B=0 C=-5

三、解方程或消去待定係數，從而使問題得到解決。

∴A=1 B=0 C=-5

一般的四次方程還可以待定係數法解，這種方法稱為笛卡爾法，由笛卡爾於1637年提出 ^[2]  。

先將四次方程化為x⁴+ax³+bx²+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4 整理後得到y⁴+py²+qy+r=0 （1）

設y⁴+py²+qy+r=(y²+ky+t)(y²-ky+m)=y⁴+(t+m-k²)y²+k(m-t)y+tm

比較dy對應項係數，得t+m-k²=p，k(m-t)=q，tm=r

設k≠0，把t和m當作未知數，解前兩個方程，得t=(k³+pk-q)/(2k)，m=(k³+pk+q)/(2k)

再代入第三個方程，得((k³+pk)²-q²)/(4k²)=r 。即k⁶+2pk⁴+(p²-4r)k²-q²=0

解這個方程，設kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko時t和m的值那麼方程（1）就成為

（y²+koy+to)(y²-koy+mo)=0

解方程y²+koy+to=0和y²-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四個根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四個根。

例題1

已知多項式 2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，求a/b

分析：由條件可知，(x²+x-2)是該多項式的一個二次因式，而該多項式次數為4，故可設2x⁴-3x³+ax²+7x+b=(x²+x-2)(mx²+nx+k)，可解出m、n，最後代入即可求出a、b的值。

答案：-2

例題2

已知f(x)表示關於x的一個五次多項式，若f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=0，f(2)=24，f(3)=360，求f(4)的值。

分析：因為f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=0，所以這個多項式中必有因式(x+2)、(x+1)、x、(x-1)，而四個因式的乘積為四次多項式，故原多項式可以分解為以上四項因式的乘積以及還有一項一次因式的乘積，故這個多項式可以設為(x+2)(x+1)x(x-1)(ax+b)，利用待定係數法求出a、b的值最後代入原多項式，即可求出f(4)的值。

答案：1800

例題3

分母有理化：(3+2√2-√3-√6)/(1+√2-√3)

分析：為了使分母有理化，嘗試將分子化為含有因式(1+√2-√3)的多項式。注意到√6=√2·√3，即可設3+2√2-√3-√6=(1+√2-√3)(a√2+b√3+c)，最後解出a、b、c的值，代入原式後化簡即可。

答案：1+√2

例題4

已知(6x³+10x)/(x⁴+x²+1)可以表示為兩個一次多項式分別除以(x²+x+1)、(x²-x+1)的和，求這兩個一次多項式。

分析：通過設(6x³+10x)/(x⁴+x²+1)=(ax+b)/(x²+x+1)+(cx+d)/(x²-x+1)，將等式右邊同分，發現兩邊的分母相同，即可得到兩邊的分子相等，最後利用待定係數法即可求出a、b、c、d。