拉格朗日中值定理

人類對微分中值定理的認識始於古希臘時代。當時的數學家們發現，過拋物線頂點的切線必平行於拋物線底端的連線，阿基米德還利用該結論求出了拋物線弓形的面積。這其實就是拉格朗日中值定理的特殊情形。

1635年，意大利數學家博納文圖拉·卡瓦列裏在《不可分量幾何學》中描述：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦，即卡瓦列裏定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。

1637年，法國數學家皮耶·德·費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，即函數在極值點處的導數為零。

1691年，法國數學家米歇爾·羅爾在《方程的解法》中給出了多項式形式的羅爾中值定理，後來發展成一般函數的羅爾定理，並且正是由費馬定理推導而出。

1797年，法國數學家約瑟夫·拉格朗日在《解析函數論》中首先給出了拉格朗日中值定理，並予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。

19世紀10年代至20年代，法國的數學家奧古斯丁·路易斯·柯西對微分中值定理進行了更加深入的研究。他的三部鉅著《分析教程》《無窮小計算教程概論》和《微分計算教程》，在分析上進行了嚴格的敍述和論證，對微積分理論進行了重構。他在《無窮小計算教程概論》中嚴格地證明了拉格朗日中值定理，後來又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理——柯西中值定理。

現代形式的拉格朗日中值定理是法國數學家O.博內在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral》中提出的，他並非利用

的連續性，而是利用了羅爾中值定理對拉格朗日中值定理加以重新證明 ^[1]  。

函數

在

和

之間連續，

的最大值為

，最小值為

，則

必取

，

中的一個值 ^{[1]  [4]}  。

如果函數

在閉區間

上連續，在開區間

上可導，那麼在開區間

內至少存在一點

使得

^{[1]  [4]}  。

拉格朗日中值定理的結論有幾種變形：

或令

，

，

，有

若把

記成

，則

上面第一式稱為拉格朗日中值公式，第二式和第三式稱為有限增量公式。

拉格朗日中值定理也稱為有限增量定理，視其重要性，又稱為微分中值定理 ^[2]  。

設

，由於

在閉區間

上連續，在

內可導，因此

在閉區間

上連續，在

內可導。

又

，所以根據羅爾中值定理，在

內至少存在一點

，使

亦即

或

以上證明是在

的情況下得到的，如果

，同樣可證得定理的結論 ^[3]  。

若連續曲線

在點

，

之間的每一點處都有不垂直於

軸的切線，則曲線在

、

間至少存在一點

，使得該點處的切線與割線

平行。 ^{[4]  [5]} 

對於曲線運動，在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等於這個過程中的平均速率。 ^{[4]  [5]} 

根據拉格朗日中值定理，可以得到下列推論：

推論1：若函數

在區間

上的任意點

處的導數

恆等於零，則函數

在區間

內是一個常數。

推論2：若函數

和

在區間內的每一點導數

與

都相等，則這兩個函數在此區間內至多相差一個常數。 ^[3] 

柯西中值定理被認為是拉格朗日中值定理的推廣，它的內容是：設

和

在

上連續，在

上可導，並且

在

上不為零，這時對於某一點

，有

。 ^[1] 

拉格朗日中值定理是微分學理論中非常突出的成果，在理論和應用上都有着極其重要的意義。它溝通了函數與其導數的聯繫，因此很多時候可以從導數的角度來研究函數在其定義域上的性質。 ^[6-7] 

拉格朗日中值定理的應用比羅爾中值定理和柯西中值定理的應用更加廣泛，因為它對函數的要求更低，而且建立了函數增量、自變量增量及導數之間的聯繫，這為利用導數解決函數的相關問題提供了重要支撐。 ^{[10]  [14]} 

總的來説，在研究函數的單調性、凹凸性以及求極限、恆等式、不等式的證明、判別函數方程根的存在性、判斷級數的斂散性以及證明與函數差值有關的命題，以及計算未定式極限等方面，都可能會用到拉格朗日中值定理。 ^{[7]  [14]  [15]} 

拉格朗日中值定理的幾何意義也有較為廣泛的應用。此外，拉格朗日中值定理的變形公式指出了函數與導數的一種關係，因此，可以利用這種關係研究函數的性質。 ^[13] 

在化學、物理等其他專業領域，也可以利用拉格朗日中值定理來進行計算和研究，例如在化學中計算相對於時間的反應級數，在物理中研究航空重力異常向下延拓方法等。 ^{[9]  [16]} 

例1：設

在

上連續，在

內可導，證明：在

內至少存在一點

使得

。

證明：設

，則

在

內可導，在

上連續，於是根據拉格朗日中值定理可知至少存在一點

，使得

，因此

，即

。

例2：設

在

內可導，在

上連續，且

，證明：在

內至少存在

，

，使得

。

證明：設

，則

在

內可導，在

上連續，因此由拉格朗日中值定理有，在

內至少存在

，使得

，即

，又因為

，所以

設

，則

在

內可導，在

上連續，滿足拉格朗日中值定理的條件，所以在

內至少存在一點

，使得

，即

由

及

得

，即

^[10]  。

例3：設函數

在

內可導，在

上連續，且

，證明：如果

在

上不恆等於零，則必有

，使得

。

證明：設

，則

在

內可導，在

上連續，

，所以

，使

，從而

在

內可導，在

上連續，拉格朗日中值定理的條件滿足，如此，

，使

，即

^[10]  。

例4：求

。

解：令

，則

在

上連續，在

內可導，拉格朗日中值定理的條件滿足，所以

，使得

，且顯然

時

，所以

^[10]  。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心內容，是羅爾中值定理的直接推廣，而柯西中值定理和泰勒中值定理又是拉格朗日中值定理在形式和應用上的推廣。

拉格朗日中值定理是將函數與導數聯繫起來的一座橋樑，是研究函數的重要理論工具，是微積分學的重要組成部分，在微積分學中佔有十分重要的地位，有着廣泛應用。 ^[11]