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可導

鎖定
微積分是在17世紀末由英國物理學家、數學家牛頓和德國數學家萊布尼茨建立起來的。微積分是由微分學和積分學兩部分組成，微分學是基礎。微分學的基本概念是導數和微分，核心概念是導數。導數反應了函數相對於自變量的變化率問題。 [1] 
中文名
可導
內    容
單變量函數
要    點
充要條件

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 單側導數
  3. 3 充分必要條件
  4. 4 函數可導與連續的關係

可導定義

設函數y=f(x)在
的鄰域U(
)內有定義，當自變量x在
點取得增量
，且
時，相應的函數增量
，若
存在，則稱函數y=f(x)在
處可導，並稱這個極限值為函數y=f(x)在點
處的導數，記做
.
注：（1）若上述極限不存在，則稱函數y=f(x)在點
處不可導。如果不可導的原因是由於
為了方便起見，也説函數f(x)在點
處的導數為無窮大。
（2）
就是函數y=f(x)在點
處的變化率，它反映了函數y=f(x)在點
處隨自變量x變化的快慢程度。 [1] 

可導單側導數

極限
存在的充要條件是左極限
和右極限
存在並相等，我們稱這兩個極限值分別為函數在
點的左導數和右導數，記做
和
。左導數和右導數統稱為單側導數。 [1] 

可導充分必要條件

函數可導的充要條件：函數在該點連續且左導數、右導數都存在並相等。

可導函數可導與連續的關係

定理：若函數f(x)在
處可導，則必在點
處連續。
上述定理説明：函數可導則函數連續；函數連續不一定可導；不連續的函數一定不可導。 [1] 
參考資料
  • 1.    劉春鳳．高等數學（上）（第二版）．北京：科學出版社，2010：73-83