開區間

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（不包含給定的兩點），用(a,b)來表示（不包含兩個端點a和b）。開區間的實質仍然是數集，該數集用符號（a，b）表示，含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數，但不包含a和b。相當於{x|a

在數學裏，區間通常是指這樣的一類實數集合：如果x和y是兩個在集合裏的數，那麼，任何x和y之間的數也屬於該集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的實數所構成的集合，便是一個區間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實數。其他例子包括：實數集，負實數組成的集合等。

區間在積分理論中起着重要作用，因為它們作為最"簡單"的實數集合，可以輕易地給它們定義"長度"、或者説"測度"。然後，"測度"的概念可以拓，引申出博雷爾測度，以及勒貝格測度。

區間也是區間算術的核心概念。區間算術是一種數值分析方法，用於計算捨去誤差。

區間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S，使得若x和y均屬於S，且x<z<y，則z亦屬於S。例如整數區間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個集合。

通用的區間記號中，圓括號表示“排除”，方括號表示“包括”。例如，區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。而當我們任意指一個區間時，一般以大寫字母 I 記之。有的國家是用逗號來代表小數點，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。 ^[1] 

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（不包含給定的兩點），用(a,b)來表示（不包含兩個端點a和b）。

開區間的實質仍然是數集，該數集用符號（a，b）表示，含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數，但不包含a和b。相當於{x|a<x<b}，記作（a,b） 取值不包括a、b。

開區間指的是區間邊界的兩個值不包括在內；（a,b）

閉區間指的是區間邊界的兩個值包括在內。[a,b]

半開半閉區間:開區間一邊的邊界值不包括在內，而閉區間一邊的邊界值包括在內。[a,b）、（a,b]

如下：

[a,b] a<=x<=b 取值包括a、b

（a,b）a<x<b 取值不包括a、b

[a,b） a<=x<b 取值包括a，不包括b

（a,b] a<x<=b 取值不包括a，包括b

設函數f(x)在閉區間[a,b ]上連續，則有

（1） f(x)在閉區間[a,b ]上有界，即存在M>0，x∈ [a,b ]，有| f(x)|≤ M。

（2） f(x)在閉區間[a,b ]上取到最大值與最小值，即存在 x1、x2∈ [a,b ]，使f(x1)=m，f(x2)=M，且 任意 x∈ [a,b ]，有m≤ f(x)≤ M。

（3）任意Y∈ [m,M]，存在 c∈ [a,b ]，使f(c)=Y。

（4）f(x)在閉區間[a,b ]上一致連續。

當在開區間（a,b）上時，相關結論如下：

（1）若f(x)在開區間(a,b)上連續，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，則① f(x)在(a，b)上有界；② f(x)在(a，b)上一致連續。

（2）若f(x)在開區間(a,b)上連續，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，①若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a，b)上的上界，則f(x)在(a,b)上取得最大值。②若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a，b)上的下界，則f(x)在(a，b)上取得最小值。

（3）若f(x)在開區間(a，b)上連續，f(x)在(a，b)取到最小值m與最大值M，則 任意 Y∈ [m，M]，存在c∈ [a，b ]，使f(c)=Y。 ^[2] 

微分中值定理是利用導數研究函數在區間上的整體性態的有利工具。《高等數學》教材中的幾個微分中值定理都建立在閉區間上，利用導數研究開區間上函數的整體性態，常先轉化到閉區間，再利用中值定理加以解決。然而微分中值定理的條件是充分條件，在開區間上定義的函數只要滿足相應的性質，就有可能使微分中值定理的結論成立。

引理：

設（a，b）為有限或無窮區間，，f（ x）在（ a，b）內可導，

，則至少存在一點

，使

。

定理 1 若函數 f 滿足如下條件：

1）f 在（a，b）內可導，其中（a，b）為有限開區間；

2）

、

則（a，b）內至少存在一點 c，使得

。

定理二：若函數 f 與 g 滿足如下條件：

1）f 、g在（a，b）內可導，其中（a，b）為有限開區間；

2）

、

、

、

，且

，則（a，b）內至少存在一點 c，使得

。 ^[3]