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直線
(數學概念)
鎖定
直線由無數個點構成,點動成線。直線是面的組成成分,並繼而組成體。沒有端點,向兩端無限延伸,長度無法度量。直線是軸對稱圖形。
它有無數條對稱軸,對稱軸為所有與它垂直的直線(有無數條)。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線,即不重合兩點確定一條直線。在球面上,過兩點可以做無數條類似直線。
直線直線方程
直線平面方程
知道直線上一點
,並且直線的斜率
存在,則直線可表示為:
當
不存在時,直線可表示為:
知道直線在
軸上截距為
(即經過點
),斜率為
,直線可表示為:
當
不存在時,直線可表示為:
知道直線與
軸交於
,與
軸交於
,則直線可表示為:
當
、
均不為0時,斜截式可寫為
該表達式不適用於和任意座標軸垂直的直線
知道直線經過點
和點
,且斜率存在,則直線可表示為:
法線式
點方向式
知道直線上一點
,
、
不等於0,並且直線不與
軸、
軸平行,則直線可表示為:
點法向式
直線空間方程
設直線方向向量為(m,n,p),經過點(x0,y0,z0)
3.x0y式
x=kz+b,y=lz+b
直線有關內容
直線角
設平面e的法向量為c直線m、n的方向向量為a、b
把平面ax+by+cz+d=0的法向量為(a,b,c);直線x=kz+b,y=lz+a的方向向量為(k,l,1)代入即可
則直線所成的角:m,n所成的角為a。
cosa=cos=|a*b|/|a||b|
直線和平面所成的角:設b為m和e所成的角,則b=π/2±。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|
平面兩直線所成的角:設K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1),tan1,l2>=(k1-k2)/(1+k1k2)
直線距離
異面直線的距離:l1、l2為異面直線,l1,l2公垂直線的方向向量為n、C、D為l1、l2上任意一點,l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|
易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|
直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離;
點到直線的距離:A∈l,O是P點在l上的射影,PA和l所成的角為b,s為l的方向向量。
易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|2|s|2|-|PA*s|2)1/2/|s|
平面內:直線ax+by+c=0到M(m,n)的距離為|am+bn+c|/(a2+b2)1/2
平行直線:l1:ax+by+c=0,l2:ax+by+d=0,l1到l2的距離為|c-d|/(a2+b2)1/2
備註:
直線是曲線的暫短停留。
直線應用
直線點與直線
一般情況下,點與直線的距離,是指點到直線的最短距離,即垂直距離。
[3]
在二維直角座標中,直線Ax+By+C=0與點(p,q)的最短距離為
給出向量式
和點
,則有距離
直線直線相交點
給定兩條直線
和
,二者相交的條件是
或等價地,
當中
。
這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得
直線相交直線夾角
在二維平面上,給定直線y=mx+b,該線與x-軸的夾角為
。
而其他情況,兩線相交所形成的夾角
(
),則由
給定相交直線向量式
和
,則有
直線直線的距離
一般情況下,兩條直線的距離,是指最短距離。
二維情況下,兩條相交直線的距離必然為0。
給定平行向量式
和
,則有