全序集

設

為偏序集，如果任意的

，都有

或

，則

構成一個全序集。 ^[3] 

由定義可以知道，全序集的哈斯圖是一條直線段 ^[2]  。

任一偏序集，若任意且S中存在最小元，則稱為良序集。

若兩個全序集的元素相同，並且序關係也相同，則稱這兩個全序集是相同的，即

當用列舉法表示全序集時，通常規定從左到右表示元素的順序。例如,設N為自然數集,關係“≤”為平常的數的小於或等於關係，則全序集

表示為

；若序關係“

”定義為

則全序集

表示為

。 ^[1] 

每一個良序集一定是全序集 ^[2]  。

注意：全序集不一定是良序集。

證明： 設

是良序集，則對於任意的

構成的子集一定存在最小元，該最小元不是a就是b，因此一定滿足

或

，所以

是全序集。

任一個有限的全序集一定是良序集。

證明：設

是任一有限全序集，

為任一非空子集，則B也是全序集。設B中有n個元素，將B中的元素依次進行比較，找出最小的那個元素，則最多進行

次比較，即

可找出最小元，因此是良序。

例1 給定

上的包含關係

，則

構成全序集。 ^[2] 

例2 給定自然數集N上的小於等於(≤)關係，則

構成全序集。

例3 給定自然數集N上的小於等於(≤)關係，則

是良序集合。

例4 給定整數集Z上的小於等於(≤)關係，則

構成全序集。但因為在整數集上不存在最小元，所以該偏序集不是良序集。

1、 自然數集

、有理數集

、實數集

在通常的大小序下是全序的。

2、 有限長度的序列按字典序是全序的。最常見的是單詞在字典中是全序的。

3、 任何良序集是全序的。

4、 自然數的子集按集合包含關係是一個偏序，但不是全序的，即

不是全序的。因為

與

是不可比較的。