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柯西中值定理
鎖定
- 中文名
- 柯西中值定理
- 外文名
- Cauchy mean value theorem
- 表達式
- [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
柯西中值定理人物簡介
柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857),出生於巴黎,他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員,在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因,柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派,是一位虔誠的天主教徒。並且在數學領域,有很高的建樹和造詣。很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼,如柯西不等式、柯西積分公式。
柯西中值定理定理定義
柯西(Cauchy)中值定理:設函數
滿足
⑴在閉區間
上連續;
⑶對任意
,
,
與拉氏定理的聯繫
在柯西中值定理中,若取g(x)=x時,則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。
因此,拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例;反之,柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。
柯西中值定理證明
可構造輔助函數
,
在
上連續,在
內可導,且有
。
柯西中值定理幾何意義
若令
,這個形式可理解為參數方程,而
則是連接參數曲線兩端點弦的斜率,
表示曲線上某點處切線的斜率,在定理的條件下,結論可理解如下:用參數方程表示的曲線上至少有一點,在這一點處的切線平行於連接兩個端點的弦。
[3]
柯西中值定理應用例子
柯西中值定理泰勒公式
柯西中值定理最主要的應用是證明帶有拉格朗日餘項的
階泰勒公式,只要反覆使用柯西中值定理多次就能證明,下面以
為例説明。
例1設
在
內二次可微,證明:任意的
,在
之間存在
,使
證明令
,
利用
,
,
,
。在兩次應用到柯西中值定理後可以得到:
柯西中值定理洛必達法則
柯西中值定理的一個最重要的應用就是可以推導計算待定型的極限最有效的方法——洛必達法則。
我們得出下面這個定理(洛必達法則):
⑵存在極限
(或
),其中A為一個有限的常數。則在以下情況下:
(或者
和
)。那麼就有:
(或
)。在區間的另一個端點也存在相類似的結果。這個定理就稱之為洛必達法則,能有效地應用於待定型的極限計算。
柯西中值定理不等式
例3試證明當
時,
(引用文內原題,解法重新作出)。
證明 設
,
則
在區間
上滿足柯西中值定理條件,所以存在
,使
,即
結論得證。
柯西中值定理中值點
中值點的存在性的證明是柯西中值定理最典型的應用之一。
證明 設
,
,顯然
在
上滿足柯西中值定理的條件,於是存在
,使得
柯西中值定理定理求極限
柯西(Cauchy) 中值定理是微分中值定理的三大定理之一,它比羅爾(Rolle) 定理與拉格朗日(Lagrange) 中值定理更具一般性,也具有更廣泛的應用性,但大多高等數學的教材中僅介紹了柯西中值定理及其證明,對該定理的應用涉及較少,不利於學生對該定理的理解併發揮其應用價值。下面介紹一下利用柯西中值定理在求極限中的應用。
例:求極限
,其中x>0.
解:1當x=1時,
,故
;
2當
時,令
,
,則f(x)與g(x)在[1,x](x>0)上滿足柯西中值定理的條件,故存在
,使得
,即
,故
,從而
,故
,又因為
,所以
,所以
。綜合1、2,得:
- 參考資料
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- 3. Michael Comenetz (2002). Calculus: The Elements. World Scientific. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
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