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洛必達法則
鎖定
- 中文名
- 洛必達法則
- 外文名
- L'Hôpital's rule
- 一般定義
- 確定未定式值的一種特殊方法
- 學科分類
- 數學、微積分
- 創立時間
- 1696年
- 提出人物
- 約翰·伯努利
- 運算特點
- 分子、分母同時求導
洛必達法則計算公式
洛必達法則零比零型
⑴
,
;
⑶
(
可為實數,也可為 ±∞ ),則
洛必達法則無窮比無窮型
若函數
和
滿足下列條件:
⑴
,
;
⑵ 在點
的某去心鄰域內兩者都可導,且
;
⑶
(
可為實數,也可為
或
),則
洛必達法則其他不定式
(1)
型
例:求
解:原式=
(2)
型
例:求
解:原式=
(3)
型
同時針對不同的問題,ln(1+x)~x當x→1+時 x-1→0,還可以利用等價無窮小
作替換,化簡算式。
例:求
解:原式=
=
=
=
=
=
,上式求解過程中,利用了等價無窮小的替換,即把
替換成了
。
(4)
型
例:求
解:原式=
(5)
型
例:求
解:原式=
洛必達法則定理推廣
洛必達法則還可以處理0/∞型的極限。
洛必達法則應用條件
在運用洛必達法則之前,首先要完成兩項任務:一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大);二是分子分母在限定的區域內是否分別可導。如果這兩個條件都滿足,接着求導並判斷求導之後的極限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,則説明此種未定式不可用洛必達法則來解決;如果不確定,即結果仍然為未定式,再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。
[9]
洛必達法則注意事項
⑴ 在着手求極限以前,首先要檢查是否滿足
或
型構型,否則濫用洛必達法則會出錯(其實
形式分子並不需要為無窮大,只需分母為無窮大即可)。當不存在時(不包括
情形),就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。
[9]
- 參考資料
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- 1. 姚衞紅. 幾個典型例子在微積分(數學分析)教學中的應用[J]. 高等數學研究,2020,23(06):45-48+32
- 2. 張忠誠主編. 經濟數學[M]:中國經濟出版社 ,2016.09
- 3. 同濟大學數學系編. 高等數學[M]. 第七版. 北京:高等教育出版社,2014:133
- 4. 同濟大學數學系編. 高等數學[M]. 第七版. 北京:高等教育出版社,2014:134
- 5. 曾赤潔. 求解0∙∞型極限的方法分析[J]. 滇西科技師範學院學報,2019,28(4):116-121
- 6. 舒斯會,易雲輝主編. 應用微積分[M]:北京理工大學出版社,2016.08
- 7. 喻璟主編. 高等應用數學[M]:北京理工大學出版社,2014.08
- 8. 王爛曼,劉玫星,蔣衞華主編. 應用數學實用教程[M]:北京理工大學出版社,2016.01:50-52
- 9. 鄭清平,張緒林,印德彬主編. 大學應用數學[M]:重慶大學出版社,2015.01:33-36