泰勒公式

泰勒公式是高等數學中的一個非常重要的內容，它將一些複雜的函數逼近近似地表示為簡單的多項式函數，泰勒公式這種化繁為簡的功能，使得它成為分析和研究許多數學問題的有力工具 ^[3]  。

18世紀早期英國牛頓學派最優秀的代表人物之一的數學家泰勒(Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，書中陳述了他於1712年7月給他老師梅欽信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了數值方程。泰勒公式是從格雷戈裏——牛頓插值公式發展而來，它是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠光滑,在已知函數某一點各階導數的前提下,泰勒公式可以利用這些導數值作為係數構建一個多項式來近似該函數在這一點的鄰域中的值。1772年，拉格朗日強調了泰勒公式的重要性，稱其為微分學基本定理，但是泰勒定理的證明中並沒有考慮級數的收斂性，這個工作直到19世紀20年代，才由柯西完成。泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可以展開成冪級數，因此，人們稱泰勒為有限差分理論的奠基者 ^[3]  。

泰勒公式是數學分析中重要的內容，也是研究函數極限和估計誤差等方面不可或缺的數學工具，泰勒公式集中體現了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有獨特的優勢。利用泰勒公式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個方面都有重要的應用。泰勒公式可以應用於求極限、判斷函數極值、求高階導數在某點的數值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面 ^[3]  。

由導數的定義可知，當函數

在點

處可導時，在點

的鄰域

內恆有 ^[4] 

因為

是一個無窮小量，故有

。這是在對函數進行局部線性化處理時常用的公式之一。從幾何上看，它是用切線近似代替曲線。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點的附近才有近似意義。為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數學家們在柯西中值定理的基礎上，推導出了泰勒中值定理（泰勒公式） ^[4]  。

若函數

在包含

的某個開區間

上具有

階的導數，那麼對於任一

，有 ^[4] 

其中，

，此處的

為

與

之間的某個值。

稱為

階泰勒公式，其中，

稱為

次泰勒多項式，它與

的誤差

稱為

階泰勒餘項 ^{[4]  [5-6]  [2]}  。

如果函數

的

階導數在

上有界M，從而有

表明

，另外也可證明對固定的

，當

時，

，即，要想使

與

誤差減小，則可將

取小，也可將

取大。在

階泰勒公式中，

，從而可得 ^[4]  ：

此時

為

，其中

為

與

之間的某個值，該式稱為函數

在

處的

階泰勒公式， ^[9]  也稱作

的

階麥克勞林（Maclaurin）公式，其餘項常寫為

或者

兩種形式，用

階導數表示的餘項叫拉格朗日餘項，用

或者

表示的餘項叫作皮亞諾（Peano）餘項 ^{[6]  [4]  [2]}  。

泰勒公式的餘項有兩類：一類是定性的皮亞諾餘項，另一類是定量的拉格朗日餘項。這兩類餘項本質相同，但是作用不同。一般來説，當不需要定量討論餘項時，可用皮亞諾餘項（如求未定式極限及估計無窮小階數等問題）；當需要定量討論餘項時，要用拉格朗日餘項（如利用泰勒公式近似計算函數值） ^[7]  。

泰勒公式的幾何意義是利用多項式函數來逼近原函數，由於多項式函數可以任意次求導，易於計算，且便於求解極值或者判斷函數的性質，因此可以通過泰勒公式獲取函數的信息，同時，對於這種近似，必須提供誤差分析，來提供近似的可靠性 ^[8]  。

一個通用表達式

，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有

，其中誤差

是在

，即

的前提下才趨於0，在近似計算中往往不夠精確 ^[3]  。

除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應用也非常廣泛，特別是在微分方程數值解和最優化上有着很大的作用 ^[3]  。

在高等數學的理論研究及應用實踐中,泰勒公式有着十分重要的應用，簡單歸納如下 ^[4]  ：

(1)應用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題 ^[4]  。

(2)應用泰勒公式可以證明區間上的函數等式或不等式 ^[4]  。

(3)應用泰勒公式可以進行更加精密的近似計算 ^[4]  。

(4)應用泰勒公式可以求解一些極限 ^[4]  。

(5)應用泰勒公式可以計算高階導數的數值 ^[4]  。