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無窮小量

鎖定
無窮小量是數學分析中的一個概念，在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函數、序列等形式出現。 [1]  無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。確切地説，當自變量x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函數值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。 [2] 
中文名
無窮小量
外文名
Infinitesimals
提出者
阿基米德
提出時間
300年
適用領域
數學分析
應用學科
數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. 3 無窮大
  1. 4 階的比較
  2. ▪ 前提條件
  3. ▪ 高低階無窮小量
  1. ▪ 同階無窮小量
  2. ▪ 等價無窮小量

無窮小量定義

無窮小是極限為零的函數。如
是自變量
，因變量極限為零的函數。此時f(x)就是
的無窮小。 [3] 
無窮大是指絕對值大於任何數的函數，因此負無窮不是無窮小，而是無窮大。
圖示 圖示 [3]
設f在某x0的空心鄰域有定義。
對於任給的正數 ε（無論它多麼小），總存在正數
（或正數
）使得不等式
（或
）的一切
對應的函數值
都滿足不等式
，則稱函數
為當
（或
）時的無窮小量。記做：
（或
）。 [1] 

無窮小量性質

1、無窮小量不是一個數，它是一個變量。
2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。
3、無窮小量與自變量的趨勢相關。
4、若函數
在某
的空心鄰域內有界，則稱g為當
時的有界量。
例如
，都是當
時的無窮小量，
是當
時的無窮小量，而
為
時的有界量，
是當
時的有界量。特別的，任何無窮小量也必定是有界量。
5、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。 [2] 
6、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
7、有界函數與無窮小量之積為無窮小量。
8、特別地，常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
9、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小。

無窮小量無窮大

當自變量x趨於x0時，函數的絕對值無限增大，則稱
為當
時的無窮大。記作
。 [1] 
同樣，無窮大不是一個具體的數字，而是一個無限發展的趨勢。

無窮小量階的比較

無窮小量前提條件

無窮小量是以0為極限的函數，而不同的無窮小量收斂於0的速度有快有慢。因此兩個無窮小量之間又分為高階無窮小 ，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小。 [2] 
首先規定
都為
時的無窮小，
在某
的空心鄰域恆不為0。

無窮小量高低階無窮小量

，則稱當
時，f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量。 [1] 
記做
(
)
特別的，f為當
時的無窮小量記作
(
)。

無窮小量同階無窮小量

當
（c≠0）時，ƒ和ɡ為
時的同階無窮小量。 [2] 
當x→0時的同階無窮小量：
與
與

無窮小量等價無窮小量

，則稱ƒ和ɡ是當
時的等價無窮小量，記做：
（
）。 [2] 
等價無窮小量應用最廣泛，常見的有：
當x→0時
，
，
（
）
參考資料
  • 1.    同濟大學數學系．微積分：高等教育出版社，2009
  • 2.    同濟大學數學系．高等數學：高等教育出版社，2014
  • 3.    無窮小量是否為零  ．馬同學高等數學[引用日期2018-07-20]