牛顿插值公式

数学术语
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当只知道函数在一些节点的位置却不知道函数具体的表达式时,我们可以利用代数插值方法给出函数的近似形式。常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值、埃米尔特插值及样条插值等等。
牛顿(Newton)插值公式是代数插值方法的一种形式。牛顿插值引入了差商的概念,使其在插值节点增加时便于计算。
中文名
牛顿插值公式
外文名
Newton interpolation formula
提出者
牛顿
应用学科
数学,计算力学
牛顿插值公式(Newton interpolation formula)是代数插值方法的一种形式。牛顿插值引入了差商的概念,使其在插值节点增加时便于计算。

差商

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设函数
,已知其n+1个插值节点为
,我们定义:
的零阶差商为
在点
的一阶差商为
在点
的二阶差商为
一般的,
在点
的k 阶差商为
可将k阶差商
表示为函数值
的组合:

公式推导

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先写出
的各阶差商:
分别变形可得:
依次代入,可得牛顿插值公式:
可记为:
其中,
为牛顿插值公式的余项或截断误差,当n趋于无穷大时为零。 [1]

等间距插值公式

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取节点间距为h,可导出等间距牛顿插值公式。(以向前差分为例) [2]
的n 阶向前差分公式为:
等间距牛顿插值公式:

实例

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图1为给定节点值利用牛顿插值拟合函数值得实例 [2]
图1 牛顿插值算例

公式意义

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牛顿插值作为嚷龙耻巴射埋一浆欠台种常用的数值拟合方法,因其计算简单,方便灶妹罪进行大量插值点的计算,且逻辑清楚,便于编程计算,在实验分析订微狱中具牛连有广泛的应蜜恋用。
特别是实验中经常出现只能测量得到离散数据点的情况,或者只寻腊淋能用数值解表示某对应关系之时,可以使用牛顿插值公式,对离散点进行拟合,得到较为准确的函数解析值。