極值

極值是變分法的一個基本概念。泛函在容許函數的一定範圍內取得的最大值或最小值，分別稱為極大值或極小值，統稱為極值。使泛函達到極值的變元函數稱為極值函數，若它為一元函數，通常稱為極值曲線。極值也稱為相對極值或局部極值。

極值是“極大值” 和 “極小值”的統稱。如果函數在某點的值大於或等於在該點附近任何其他點的函數值，則稱函數在該點的值 為函數的“極大值”。如果函數在某點的值小於或等於在該點附近任何其他點的函數值，則稱函數在該點的值為函數的“極小值”。

函數在其定義域的某些局部區域所達到的相對最大值或相對最小值。當函數在其定義域的某一點的值大於該點周圍任何點的值時，稱函數在該點有極大值; 當函數在其定義域的某一點的值小於該點周圍任何點的值時， 稱函數在該點有極小值。這裏的極大和極小只具有局部意義。因為函數的一個極值只是它在某一點附近的小範圍內的極大值或極小值。

函數在其整個定義域內可能有許多極大值或極小值，而且某個極大值不一定大於某個極小值。函數的極值通過其一階和二階導數來確定。對於一元可微函數f (x)，它在某點x0有極值的充分必要條件是f(x)在x0的某鄰域上一階可導，在x0處二階可導，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那麼：

1）若f"（x0）<0，則f在x0取得極大值；

2）若f"（x0）>0，則f在x0取得極小值。

^[1] 

函數的一種穩定值，即一個極大值或一個極小值，極值點只能在函數不可導的點或導數為零的點上取得。

在給定的時期內，或該時期的一定月份或季節內觀測到的氣候要素的最高值或最低值。如果這個時期是整個有觀測資料的時期，這個極值就是絕對極值。

極值的定義如下：

若函數f(x)在x₀的一個鄰域D有定義，且對D中除x₀的所有點，都有f(x)<f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極大值。

同理，若對D中除x₀的所有點，都有f(x)>f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極小值。

極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。根據極值定律，定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值，問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。如果極值點不是邊界點，就一定是內點。因此，這裏的首要任務是求得一個內點成為一個極值點的必要條件。

尋求函數整個定義域上的最大值和最小值是數學優化的目標。如果函數在閉合區間上是連續的，則通過極值定理存在整個定義域上的最大值和最小值。此外，整個定義域上最大值（或最小值）必須是域內部的局部最大值（或最小值），或必須位於域的邊界上。因此，尋找整個定義域上最大值（或最小值）的方法是查看內部的所有局部最大值（或最小值），並且還查看邊界上的點的最大值（或最小值），並且取最大值或最小的）一個。

費馬定理可以發現局部極值的微分函數，它表明它們必須發生在關鍵點。可以通過使用一階導數測試，二階導數測試或高階導數測試來區分臨界點是局部最大值還是局部最小值，給出足夠的可區分性。

對於分段定義的任何功能，通過分別找出每個零件的最大值（或最小值），然後查看哪一個是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。 ^[2] 

對於多元函數，同樣存在極值點的概念。此外，也有鞍點的概念。

計算步驟

（1）求導數f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）檢查f'(x)在方程的左右的值的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正那麼f(x)在這個根處取得極小值。

f'(x)無意義的點也要討論。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點，再按定義去判別。

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用極值的定義（半徑無限小的鄰域f(x)值比該點都小或都大的點為極值點），討論f(x)的間斷點。

（3）上述所有點的集合即為極值點集合。 ^[3] 

求函數f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的極值

應該使fx=0，fy=0得到四個點，再代入值比較大小。

fx=3x^2-4x+6>0恆成立

fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3

定理1（必要條件）： 設函數z = f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數，且在點(x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數必然為零

fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。

定理2（充分條件）： 設函數z = f(x,y)在點(x0,y0)的某領域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，

則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

（1）AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；

（2）AC-B2<0時沒有極值；

（3）AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。

利用定理1、2，我們把具有二階連續偏導數的函數z = f(x,y)的極值的求法敍述如下：

第一步 解方程組fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實數解，即可求得一切駐點；

第二步 對於每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數的值A、B和C；

第三步 定出AC-B2的符號，按定理2的結論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。

上面介紹的極值必要條件和充分條件都是對函數在極值點可導的情形才有效的。當函數僅在區域D內的某些孤立點(xi, yi)不可導時，這些點當然不是函數的駐點，但這種點有可能是函數的極值點，要注意另行討論。