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駐點

（數學概念）

鎖定
在微積分，駐點（Stationary Point）又稱為平穩點、穩定點或臨界點（Critical Point）是函數的一階導數為零，即在“這一點”，函數的輸出值停止增加或減少。對於一維函數的圖像，駐點的切線平行於x軸。對於二維函數的圖像，駐點的切平面平行於xy平面。值得注意的是，一個函數的駐點不一定是這個函數的極值點（考慮到這一點左右一階導數符號不改變的情況）；反過來，在某設定區域內，一個函數的極值點也不一定是這個函數的駐點（考慮到邊界條件），駐點與拐點，這圖像的駐點都是局部極大值或局部極小值 [1]  。
中文名
駐點
外文名
Stationary point
別    名
critical point
類    型
數學概念
特    點
函數單調性可能改變
區    別
可導函數的極值點必為駐點

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 與拐點區別
  3. 3 與極值點區別

駐點定義

函數的一階導數為0的點(駐點也稱為穩定點，臨界點)。對於多元函數，駐點是所有一階偏導數都為零的點。當一元連續、可導函數在給定區間內只有一個駐點時，極大 (極小)值就是最大 (最小)值。 [6] 

駐點與拐點區別

函數的平穩點的術語可能會與函數圖的給定投影的臨界點相混淆。
“臨界點”更為通用：功能的平穩點對應於平行於x軸的投影的圖形的臨界點。另一方面，平行於y軸的投影圖的關鍵點是導數不被定義的點（更準確地趨向於無窮大）。因此，有些作者將這些預測的關鍵點稱為“關鍵點”。
拐點是導數符號發生變化的點。拐點可以是相對最大值或相對最小值（也稱為局部最小值和最大值）。如果函數是可微分的，那麼拐點是一個固定點；然而並不是所有的固定點都是拐點。如果函數是兩次可微分的，則不轉動點的固定點是水平拐點。例如，函數 x3在x = 0處有一個固定點，也是拐點，但不是轉折點。
在駐點處的單調性可能改變，在拐點處凹凸性一定改變。 [2] 
拐點：使函數凹凸性改變的點。
駐點：一階導數為零。 [3] 

駐點與極值點區別

可導函數
的內部的極值點必定是它的駐點，但反過來，函數的駐點卻不一定是極值點。 [4] 
函數
的：
1.極值點不一定是駐點。如y=|x|，在x=0點處不可導，故不是駐點，但是極(小)值點。
2.駐點也不一定是極值點。如y=x³，在x=0處導數為0，是駐點，但沒有極值，故不是極值點。 [5] 
參考資料
  • 1.    Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd edition, 1984, p. 236.
  • 2.    張元萍編著,21世紀高等學校金融學系列教材 數理金融,中國金融出版社,2004年08月第1版,第27頁
  • 3.    Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, p. 318, ISBN 9781107679573
  • 4.    易正俊、張敏、羅廣萍．高等數學 上冊：清華大學出版社，2014.09：第119頁
  • 5.    "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library',. Retrieved 30 October 2011.
  • 6.    胡曉帆.函數最大(最小)值的探討[J].深圳大學學報：理工版,1997,14(2):92-96