極大值

一般的，設函數f(x)在點x0附近有定義，

（1）如果對x0附近的所有點，都有f(x)

（2）如果對x0附近的所有點，都有f(x)>f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的一個極小值，如圖2所示；

（3）函數的極大值與極小值統稱為極值。(極值即波峯波谷處的值——不一定是最大值或最小值)

（4）使得函數取得極值的點x0稱為極值點。使得函數取得極大值的點x0稱為極大值點；使得函數取得極小值的點x0稱為極小值點。

需要注意以下幾點：

（1）極大值、極小值是一個局部概念。由定義，極大值、極小值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，並不意味着它在函數的整個的定義域內最大或最小，因此，極大值、極小值不同於最大值、最小值。

（2）函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。

（3）極大值與極小值之間無確定的大小關係，即一個函數的極大值未必大於極小值，極小值也未必小於極大值。

（4）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。

對於單變量函數，有如下求極大值的方法。

（1）一階導數判別法：

對於可導函數f(x)，判別f(x)是否有極大值的步驟如下：

1）求導數 f′(x)；

2）求 f(x)的駐點，即求 f′(x)=0 的根；

3）檢查 f′(x)在駐點左右的符號，如果在駐點左側附近為正，右側附近為負，那麼函數y=f(x)有極大值，且在這個駐點處取得極大值；否則，函數f(x)無極大值。

（2）二階導數判別法（函數二階可導）

已知f(x)在x0的某鄰域上一階可導，在x0處二階可導，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那麼：

1）若f"（x0）

2）若f"（x0）>0，則f在x0取得極小值。

某些不連續的函數在間斷點處無法求導，但仍可能為極大值或極小值，具體情況需具體分析。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點，這些點都稱為可疑點，再用定義去判斷。 例如：f（x）=|x|在x=0的導數是不可取的 ^[1]  。