複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/二階導數/1139067
複製
複製成功

二階導數

鎖定
二階導數是一階導數的導數。從原理上看，它表示一階導數的變化率；從圖形上看，它反映的是函數圖像的凹凸性。 [1] 
中文名
二階導數 [2] 
外文名
second derivative [2] 
含    義
一階導數的導數
幾何意義1
切線斜率變化的速度 [1] 
幾何意義2
函數的凹凸性 [1] 
應    用
判斷函數凹凸性 [1] 

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 物理意義
  3. 3 幾何意義
  4. 4 例題

二階導數定義

以導數定義法定義：如果函數
的導數
在
處可導，則稱
的導數為函數
在點
處的二階導數，記為
。 [3] 
以極限定義法定義：函數
在
處的二階導數
是導函數
在
處的導數，即 [4] 
[4] 

二階導數物理意義

以物理運動為例，我們知道，變速直線運動的速度
是位置函數
對時間
的導數，即 [5] 
[5] 
這種導數的導數
或
稱為
對
的二階導數，記作 [5] 
[5] 
所以，直線運動的加速度就是位置函數
對時間
的二階導數。 [5] 

二階導數幾何意義

切線斜率變化率
據導數的幾何意義，二階導數按極限形式 [4] 
[8]  [4] 
可直接理解為曲線的切線斜率的變化率，也就是切線斜率的平均變化率。 [4] 
凹率
f(x)在 點 x=x0處的二階導數f''(x0)為f(x)在 點M(x0，f(x0))處的凹率，同時也是曲線f(x)在點M(x0，f(x0))處的二 次切線的凹率。 [7] 
凹率可以認為是二階導數的幾何本質。 [4] 
據曲線的凹凸性，
時，曲線在a點上凹；
時，曲線在a點下凹。 [4] 
如果規定曲線在a點上凹為正，下凹為負（以下均如此設定），則凹向的正負就與
的正負一致，
的正負就表示曲線在a點上凹的正負。 [4] 
拋物線的凹率與焦準距
對於拋物線 [4] 
[4] 
其導函數為： [4] 
[4] 
則二階導數為
，稱2a為整個拋物線的凹率。 [4] 
拋物線經平移可得原點為頂點的標準拋物線，參數a不變，標準拋物線方程
，其中p為焦準距，定義焦準距為焦點與準線的縱座標差，則拋物線的焦準距
。 [4] 

二階導數例題

設
，求
和
。 [6] 
解：用導數定義求解： [6] 
參考資料