高階導數

一階導數的導數稱為二階導數，二階以上的導數可由歸納法逐階定義。二階和二階以上的導數統稱為高階導數。從概念上講，高階導數可由一階導數的運算規則逐階計算，但從實際運算考慮這種做法是行不通的。因此有必要研究高階導數特別是任意階導數的計算方法。 ^[1-2] 

函數

的導數

仍是 x 的函數，通常把導函數

的導數叫做函數的二階導數，記作

即

或者可以寫成：

類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數…… . 一般地，n-1階導數的導數叫做 n 階導數，即

分別記作

或者寫為

二階及二階以上的導數統稱為高階導數。

從概念上講，高階導數計算就是連續進行一階導數的計算。因此只需根據一階導數計算規則逐階求導就可以了，但從實際計算角度看，卻存在兩個方面的問題：

（1）一是對抽象函數高階導數計算，隨着求導次數的增加，中間變量的出現次數會增多，需注意識別和區分各階求導過程中的中間變量。

（2）二是逐階求導對求導次數不高時是可行的，當求導次數較高或求任意階導數時，逐階求導實際是行

不通的，此時需研究專門的方法。

從理論上看，逐次應用一階導數的求導規則就可得到高階導數相應的運算規則。然而，對於和、差的導數計算的線性規則，這種推導是方便的，而對乘積求導的非線性運算規則，其推導過程和結果就未必簡單了。

1.

和的n階導數：

設函數

在點x都具有 n 階導數，則有

2.

積的 n 階導數 ─萊布尼茲公式：

設函數

在點x都具有 n 階導數，則由一階導數乘積的運算法則有

可見導數階數越高，相應乘積的導數越複雜，但其間卻有着明顯的規律性，為歸納其一般規律，乘積的 n 階導數的係數及導數階數的變化規律類似於二項展開式的係數及指數規律。於是由歸納法可求得：

這一結果稱為萊布尼茲公式。

例：設

存在，求

分析：這是半抽象複合函數求二階導數問題。由於已知

存在，故只需按導數規則逐階求導即可。

解：

例：已知

，求

。

分析：對此連乘積形式的函數求二階導數，直接按乘乘積求導法則求導顯然比較繁雜，故可考慮將乘積化為和差再按和的求導法則計算。

連續兩次應用和差化積公式有：

由此便容易求得：

於是求得：

對任意n階導數的計算，由於 n 不是確定值，自然不可能通過逐階求導的方法計算。此外，對於固定階導數的計算，當其階數較高時也不可能逐階計算。

所謂n階導數的計算實際就是要設法求出以n為參數的導函數表達式。求n階導數的參數表達式並沒有一般的方法，最常用的方法是，先按導數計算法求出若干階導數，再設法找出其間的規律性，並導出n的參數關係式。 ^[3] 

例：設

，求

分析：這是基本初等函數求任意階導數的問題，其求導任務實際是尋求導函數表達式與導數階數 n 的關係。為找出其間的規律性，可先具體計算若干階導數，再設法確定一般規律。

解：用歸納法尋求任意階導函數表達式：

通過若干階導數的計算可看出，cosx的高階導數具有一種循環性，其循環規律涉及兩個因素，一是總在sin x 和 cos x 之間交互轉換，二是符號交互變化。

由於涉及兩個變化因素，使得確定導數規律相對困難，故考慮改寫各階導數形式，以減少其間變化因素，並使其和導數階數發生聯繫。

由此可見，cosx的n階導數可一般地寫成：

類似地可求得：

^[4]