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等價無窮小
鎖定
等價無窮小是無窮小之間的一種關係,指的是:在同一自變量的趨向過程中,若兩個無窮小之比的極限為1,則稱這兩個無窮小是等價的。無窮小等價關係刻畫的是兩個無窮小趨向於零的速度是相等的。
- 中文名
- 等價無窮小
- 外文名
- equivalent infinitesimal
- 別 名
- 等價無窮小量
- 表達式
- lim a/b=lim a'/b'
- 適用領域
- 求極限
- 應用學科
- 高等數學
等價無窮小定義
例如:由於
,故有
。
等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法,它可以使求極限問題化繁為簡,化難為易。
- 被代換的量,在取極限的時候極限值為0;
- 被代換的量,作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換,但是作為加減的元素時就不可以。
等價無窮小性質
等價無窮小定理
設函數
,
,
,在
內有定義,且有
(1)若
,則
;
(2)若
,則
。
證明:
(1)
。
(2)
。
例如:利用等價無窮小量代換求極限
而
,
,
,
故有
。
若因有
,
,而推出
,則得到的是 錯誤的結果。
注:可直接等價替換的類型
(以上幾個性質可以用來化簡一些未定式以方便運用洛必達法則)
需要滿足一定條件才能替換的類型
若
,則
(該條性質非常重要,這是判斷在加減法中能否分別等價替換的重要依據)
變上限積分函數(積分變限函數)也可以用等價無窮小進行替換。
等價無窮小公式
注:以上各式可通過泰勒展開式推導出來。
等價無窮小推導過程
等價無窮小極限
數學分析的基礎概念。它指的是變量在一定的變化過程中,從總的來説逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數值(極限值)。極限方法是數學分析用以研究函數的基本方法,分析的各種基本概念(連續、微分、積分和級數)都是建立在極限概念的基礎之上,然後才有分析的全部理論、計算和應用.所以極限概念的精確定義是十分必要的,它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。歷史上是柯西(Cauchy,A.-L.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。他説,“當為同一個變量所有的一系列值無限趨近於某個定值,並且最終與它的差要多小就有多小”(《分析教程》,1821),這個定值就稱為這個變量的極限。其後,外爾斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))按照這個思想給出嚴格定量的極限定義,這就是數學分析中使用的ε-δ定義或ε-Ν定義等。從此,各種極限問題才有了切實可行的判別準則。在分析學的其他學科中,極限的概念也有同樣的重要性,在泛函分析和點集拓撲等學科中還有一些推廣。