積分中值定理

若函數

在閉區間

上連續，則在積分區間

上至少存在一個點

，使下式成立

其中，a、b、

滿足：

。 ^[1] 

二重積分的中值定理

設f(x,y)在有界閉區域D上連續，

是D的面積，則在D內至少存在一點

，使得:

設

在

上連續，因為閉區間上連續函數必有最大最小值，不妨設最大值為

，最小值為

，最大值和最小值可相等。

對

兩邊同時積分可得：

同除以

從而得到：

由連續函數的介值定理可知，必定

，使得

，即：

命題得證。

設

在

上可積，考慮下列兩種情況：

（1）

在

上單調遞減且在

時，

，

那麼存在

使得

.

（2）

在

上單調遞增且在

時，

，

那麼存在

使得

. ^[2] 

只需證明第一種情況，第二種情況與此類似.設

.

是一個連續函數,故在

上有最小值

和最大值

設

由單調性知道

,

.

設

.因為

在

上是單調的,故可積,所以對任意

,存在分割

,其中

為

在

上的振幅.因

在

上黎曼可積,故有界,記為

則

這裏用到阿貝爾變換,

同理有原式

由上述證明知道

得

,從而

所以

從而

. ^[2] 

這個定理的幾何意義為：若

，

，則由

軸、

、

及曲線

圍成的曲邊梯形的面積等於一個長為

，寬為

的矩形的面積。

如果函數

、

在閉區間

上連續，且

在

上不變號， 則在積分區間

上至少存在一個點

，使下式成立：

一、如果函數

,

在閉區間

上可積，且

為單調函數，則在積分區間

上至少存在一個點

，使下式成立：

二、如果函數

、

在閉區間[a,b]上可積，

並且是單調遞減函數，則在積分區間

上至少存在一個點

， 使下式成立：

三、如果函數

、

在閉區間

上可積，且

並是單調遞增函數，則在積分區間

上至少存在一個點

，使下式成立：

積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。因此，對於證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式，或者要證的結論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應考慮使用積分中值定理， 去掉積分號，或者化簡被積函數。

在函數極限的計算中, 如果含有定積分式, 常常可以運用定積分的相關知識, 比如積分中值定理等, 把積分號去掉。

某些帶積分式的函數, 常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題, 有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。 ^[1] 

在大多數的積分式中, 能找到其被積函數的原函數再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角, 當被積函數“積不出”或者原函數很複雜時, 可用各種方法來估計積分。對於乘積型的被積函數, 將變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計, 可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法, ^[1] 

積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合併同一積分區間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。

在證明定積分不等式時, 常常考慮運用積分中值定理, 以便去掉積分符號, 如果被積函數是兩個函數之積時, 可考慮用積分第一或者第二中值定理。對於某些不等式的證明, 運用原積分中值定理只能得到“≥”的結論, 或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之後, 則可以得到“

”的結論, 或者成功的解決問題。 ^[1]