折線

平面上若干條線段順次首尾相接(每條最多同另外兩條聯結且端點不在另外線段內部)構成的圖形，稱為(平面)折線；如折線每邊都有兩鄰邊，就叫(封)閉折線，否則，叫開折線．這樣就可對摺線進行初步的分類和對幾個常用概念給予明確的界定：邊不相交的折線為簡單折線，簡單閉折線叫作多邊形。多邊形劃分平面為兩部分，有限部分叫內部，無限部分叫外部。用歸納法易證：n邊形內部可用不相交對角線，劃分為以其頂點為頂點的互不重疊的n一2個三角形，從而可直接推出內角和定理。且可提出如下幾個方面的問題（以下問題更多內容請參考相應參考文獻）： ^[2] 

(1)折線整體性質的研究：拓撲和其他結構特徵、複雜性指標、組合計數問題、合成與分拆、有關度量性質研究等； ^[2] 

(2)特殊折線的研究：如直角折線、等角或等邊折線、平行多邊折線、具有某種特徵的折線(短程線、遍歷折線)的存在和構造問題； ^[2] 

(3)圓與凸多邊形內接折線(如星形折線)的研究等。 ^[2] 

折線是一種幾何圖形，指不全在同一直線上的幾條線段順次首尾相接組成的圖形(如圖1，圖2)。各線段稱為折線的邊或折線的節；折線各邊長之和稱為折線的長；各線段的端點稱為折線的頂點；相鄰兩個頂點稱為鄰頂點；不是兩條線段公共端點的兩個頂點都稱為折線的端點；兩端點重合(實際上即無端點)的折線稱為封閉折線(圖2)；組成折線的所有線段都在同一平面內的折線稱為平面折線，否則稱為空間折線；凡不相鄰的兩邊不相交的折線稱為簡單折線；把一條平面簡單折線的任一條邊向兩方延長成直線，如果能使這條折線的其他各邊都在這條直線的同側，那麼這條平面折線稱為凸折線；連結非封閉折線的兩個端點的線段稱為折線的鎖線。 ^[3] 

在同一平面上， 由不在同一條直線上的幾條線段，順次首尾相接組成的圖形。如圖3中的ABCDE和PQRSTP都是折線。折線的起點和終點稱為端點，如果一條折線的兩個端點重合，這條折線叫做封閉折線。如圖4中折線PQRSTP為封閉折線。 ^[4] 

為了弄清折線的特徵性質，觀察圖5，看閉折線

的邊

，

，

，

，它們的鄰邊折向有不同的情況(圖6)：

：和

的兩鄰邊都折向異側，而

和

兩鄰邊折向同側，前者叫雙摺邊，後者叫單折邊。雙摺邊又有不同：如在

鄰邊加上向外的力，它會向右旋轉故稱右旋邊，類似地

稱為左旋邊，這種由於在頂點“拐彎”而形成的邊的折性確實是折線的特徵性質，這由如下命題即可知曉。 ^[2] 

命題1(折線特徵性質) 閉折線如有雙摺邊則必有偶數條，左右旋邊各半且相間排列。

比如，在

處左拐，則在

處必須右拐，才能使

為雙摺邊(右旋邊)。如要生成下一條雙摺邊，又必須在某處，比如

處左拐，從而使

成為左旋邊。因此命題似乎成立，但證來頗不易，直到發現了邊的“雙標號”法才給出了證明，如稱頂點處劣角為頂角，則知有：

命題2 有雙摺邊的閉折線，頂角和不定。 ^[2] 

如圖7所示的“蝶形”，其頂角和

但這種蝶形有一個優良性質，即

，這是求折線頂角和的一個“轉移”工具。

由兩個命題可推出一系列重要事實，如奇數條邊的封閉折線至少有一條單折邊、多邊形為凸的充要條件是無雙摺邊，等，且一眼可看出很多折線的規律性。

如圖8所示的開折線中：(a)是回形折線，無雙摺邊；

(b)為齒形折線，單雙相間；

(c)為階形折線，無單折邊。

而且可看出如圖9所示的兩種星形中的(a)是回式星形，全由單折邊構成；(b)為階式星形，全由雙摺邊構成，且知前者頂角和為

，後者頂角和不確定。 ^[2]