梯度

設二元函數

在平面區域D上具有一階連續偏導數，則對於每一個點P（x，y）都可定出一個向量

,該函數就稱為函數

在點P（x，y）的梯度，記作gradf（x，y）或

,即有：

gradf（x，y）=

=

其中

稱為（二維的）向量微分算子或Nabla算子，

。

設

是方向l上的單位向量，則

由於當方向l與梯度方向一致時，有

所以當l與梯度方向一致時,方向導數

有最大值，且最大值為梯度的模，即

因此説，函數在一點沿梯度方向的變化率最大，最大值為該梯度的模。 ^[1] 

梯度的概念可以推廣到三元函數的情形。

設三元函數

在空間區域G內具有一階連續偏導數，點

，稱向量

為函數

在點P的梯度，記為

或

，即

=

=

其中

稱為（三維的）向量微分算子或Nabla算子，

。

同樣，該梯度方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值。 ^[2] 

設體系中某處的物理參數(如温度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、温度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、温度梯度或空間梯度。其中温度梯度在直角座標系下的表達式如圖1。 ^[2] 

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的説，從歐幾里得空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。

在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。

梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。