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梯度

(數學名詞)

編輯 鎖定
梯度的本意是一個向量(矢量),表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值,即函數在該點處沿着該方向(此梯度的方向)變化最快,變化率最大(為該梯度的模)。
中文名
梯度
外文名
gradient
學    科
微積分學
適用範圍
數理科學
相關概念
方向導數
性    質
向量

目錄

梯度定義

編輯
設二元函數
在平面區域D上具有一階連續偏導數,則對於每一個點P(x,y)都可定出一個向量
,該函數就稱為函數
在點P(x,y)的梯度,記作gradf(x,y)或
,即有:
gradf(x,y)=
=
其中
稱為(二維的)向量微分算子或Nabla算子,
是方向l上的單位向量,則
由於當方向l與梯度方向一致時,有
所以當l與梯度方向一致時,方向導數
有最大值,且最大值為梯度的模,即
因此説,函數在一點沿梯度方向的變化率最大,最大值為該梯度的 [1] 

梯度推廣

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梯度的概念可以推廣到三元函數的情形。
設三元函數
在空間區域G內具有一階連續偏導數,點
,稱向量
為函數
在點P的梯度,記為
,即
=
=
其中
稱為(三維的)向量微分算子或Nabla算子,
同樣,該梯度方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值。 [2] 

梯度應用

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圖1 温度梯度的表達式 圖1 温度梯度的表達式
設體系中某處的物理參數(如温度、速度、濃度等)為w,在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw,則稱為該物理參數的梯度,也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、温度或空間,則分別稱為度梯度、濃度梯度温度梯度空間梯度。其中温度梯度在直角座標系下的表達式如圖1。 [2] 
向量微積分中,標量場梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的説,從歐幾里得空間RnR的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上,梯度是雅可比矩陣的特殊情況。
在單變量的實值函數的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函數,也就是線的斜率
梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。
參考資料
  • 1.    宋國華,崔景安.高等數學第二版下:石油工業出版社,2013
  • 2.    同濟大學應用數學系.高等數學下:高等教育出版社,2007