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微分形式
鎖定
- 中文名
- 微分形式
- 外文名
- differential form
- 所屬學科
- 微分幾何
- 性 質
- 多變量微積分
- 提出者
- 埃裏·卡當
微分形式定義
微分形式流形定義
設M為光滑流形,ω:M→Λ(T*M),若對於外形式叢Λ(T*M)的叢射影π,滿足π∘ω=id,則稱ω為M上的微分形式。
微分形式向量叢定義
微分形式相關概念
微分r形式全體構成的空間記為E(M),E(M)是C(M)模。因此,M上微分r形式是光滑的反對稱r階共變張量場。微分形式全體構成的空間為
微分形式歐幾里得空間
把
作為基向量,其中,p為
中的一個點,以實常數為係數,可以生成域R上的一個n維的向量空間, 稱為
在點p的餘切空間,在線性同構的意義下,它就是
自己而已;而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函數,則上述的n個基向量可以生成函數環上的一個n秩的模,叫做一階外微分形式模。在代數幾何中,這個模是很常用的。
今取
, 則
中的元素稱為r次微分形式, 它可以寫成基元素
的線性組合。 這裏每個基元素前的係數可以視作座標
的函數。
微分形式外微分
易知兩次外微分的複合等於零, 即dd=0,即龐加萊引理。一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件,我們就得到所謂的德拉姆復形, 由這個復形,就導出了所謂的德拉姆上同調, 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。
微分形式相關概念
設f:M→N為光滑映射,若α∈Ak(N),則α沿f的拉回為M的k形式f*α,定義為
(f*α)(p)(v1,...,vk)=α(f(p))(f*v1,...,f*vk),p∈M,vi∈TpM。
當k=0時,即α為M的函數φ,則f*φ=φ∘f。
f*:A(N)→A(M)為代數同態。
df*=f*d。
微分形式斯托克斯定理
利用外微分和積分運算, 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是説一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分,就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況, 都是經典微積分理論中的重要公式, 比如牛頓萊布尼茲公式, 高斯公式, 格林公式 等等。
斯托克斯定理表明, 外微分算子d和拓撲圖形的邊緣算子是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。
微分形式例子
- 參考資料
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- 1. 《數學辭海》編輯委員會.數學辭海 第三卷.北京:中國科學技術出版社,2002-08
- 2. 微分形式 .中國知網.2008-02[引用日期2017-03-17]
- 3. Gerard Walschap.微分幾何中的度量結構:Springer,2004