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微分形式

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微分形式(differential form)是多變量微積分微分拓撲張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法,都是由著名法國數學家埃裏·卡當(Elie Cartan)引入的。
微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω:M→Λ(TM*),若對於外形式叢的叢射影π,滿足π°ω=id,則稱ω為M上的微分形式. [1] 
中文名
微分形式
外文名
differential form
所屬學科
微分幾何
性    質
多變量微積分
提出者
埃裏·卡當

微分形式定義

微分形式流形定義

設M為光滑流形,ω:M→Λ(T*M),若對於外形式叢Λ(T*M)的叢射影π,滿足π∘ω=id,則稱ω為M上的微分形式
ω:M→Λk(T*M),若對於微分k形式叢Λk(T*M)的叢射影π,滿足π∘ω=id,則稱ω為M上的微分k形式,簡稱k形式 [3] 

微分形式向量叢定義

設ξ:E→M為向量叢,則M的取值於ξ的微分k形式為叢Hom(Λk(T*M),ξ)的截面,這些截面的集記為Ak(M,ξ)。 [3] 

微分形式相關概念

設η:P×𝖌→P為平凡叢,聯絡形式ω∈A1(P,η),曲率形式Ω∈A2(P,η)。 [3] 
微分r形式全體構成的空間記為E(M),E(M)是C(M)模。因此,M上微分r形式是光滑的反對稱r階共變張量場。微分形式全體構成的空間為
設β∈E(M),(U,y1,…,yn)為M上某點處的圖冊,則微分k形式β局部地可表示為
其中bi1ik是U上的C函數.
E(M)關於外積有一個代數結構,設ω,φ∈E(M),c為常數,可以定義ω+φ,cω,ω∧φ,f∧ω(f是0形式),從而使E(M)在外積之下構成一個分次代數. [2] 

微分形式歐幾里得空間

微分形式是微分幾何學中最基本的概念。 我們首先以n維歐氏空間Rⁿ為例, 來解釋微分形式。 設
是歐氏空間座標。 在這個空間中, 我們有自然的度量, 即歐幾里得度量, 它的微分表達式為
。 這裏
是傳統的一階微分。而
指的是
和它自己的在域R上的張量積。類似地,ds是無窮小向量dr的模長,而
是ds和自己在域R上的張量積。
作為基向量,其中,p為
中的一個點,以實常數為係數,可以生成域R上的一個n維的向量空間, 稱為
在點p的餘切空間,在線性同構的意義下,它就是
自己而已;而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函數,則上述的n個基向量可以生成函數環上的一個n秩的模,叫做一階外微分形式模。在代數幾何中,這個模是很常用的。
另一方面, 對一個n維向量空間V, 假設
是基向量. 我們可以定義r次外積空間, 這個空間由以下形式的外積(有時也稱楔積)作為基元素生成:
, 這裏
今取
, 則
中的元素稱為r次微分形式, 它可以寫成基元素
的線性組合。 這裏每個基元素前的係數可以視作座標
的函數。
微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構成一個外代數

微分形式外微分

微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。 比如
是一個r次微分形式, 那麼
。這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之,我們有映射d:
. 這個映射稱為外微分
易知兩次外微分的複合等於零, 即dd=0,即龐加萊引理。一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件,我們就得到所謂的德拉姆復形, 由這個復形,就導出了所謂的德拉姆上同調, 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間
此外, 外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式, 即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式,斯托克斯公式的概括和總結,是單變量微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變量中的推廣。

微分形式相關概念

設f:M→N為光滑映射,若α∈Ak(N),則α沿f的拉回為M的k形式f*α,定義為
(f*α)(p)(v1,...,vk)=α(f(p))(f*v1,...,f*vk),p∈M,vi∈TpM。
當k=0時,即α為M的函數φ,則f*φ=φ∘f。
f*:A(N)→A(M)為代數同態
df*=f*d。
f*誘導出線性變換f*:Hk(N)→Nk(M)。 [3] 

微分形式斯托克斯定理

利用外微分和積分運算, 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是説一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分,就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況, 都是經典微積分理論中的重要公式, 比如牛頓萊布尼茲公式, 高斯公式格林公式 等等。
斯托克斯定理表明, 外微分算子d和拓撲圖形的邊緣算子是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。

微分形式例子

取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那麼
, 這裏
是Q關於x的偏導數,其餘類似。
此時的斯托克斯公式就是格林公式, 即線積分可以轉化為面積分
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會.數學辭海 第三卷.北京:中國科學技術出版社,2002-08
  • 2.    微分形式  .中國知網.2008-02[引用日期2017-03-17]
  • 3.    Gerard Walschap.微分幾何中的度量結構:Springer,2004