拓撲流形

拓撲流形是一類特殊的流形。它是一種特定的豪斯多夫空間。在n維歐氏空間Rⁿ中，由x_n≥0定義的半空間記為Rⁿ₊.一個豪斯多夫空間M，當其中每點p有同胚於Rⁿ或Rⁿ₊的開鄰域U(p)時，則稱M為n維拓撲流形。設∂Rⁿ₊為Rⁿ₊的邊界，當φ_p:U(p)

R₊時，φ^-1_p(∂R₊)中的點稱為M的邊界點。由內點不變性(布勞威爾區域不變定理)可知邊界點的定義與φ_P的選取無關，記M的全體邊界點之集為∂M，稱為流形M的邊界，補集IntM=M-∂M稱為M的內部。M=∅的流形M稱無邊流形，否則稱為帶邊流形。n維流形M的邊界∂M是n-1維無邊流形。緊緻無邊流形稱為閉流形，非緊緻無邊流形稱為開流形。存在連通但非仿緊的拓撲流形，1維這種流形稱為長直線，這種流形都不常見且具有較奇異的性質，下面討論均假定為仿緊豪斯多夫的，並且具有可數基，因而是度量空間。

一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了座標系，使得任何兩個(局部)座標系間的座標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個實變量的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無限多個(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開闢了組合拓撲學的道路。

對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關係，流形的各種意義下的分類等問題，20世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。

在歷史上，n維流形的概念在拉格朗日(Lagrange，J.-L.)時代已初見端倪，黎曼(Riemann，G.F.B.)於1854年利用參數的觀點，對維數用歸納法進行構造，以後龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)為了擺脱這種研究方法的複雜性，把n維流形定義為現在這個樣子，即它是一種連通的拓撲空間，其中每點有一個鄰域與R(或C)的一個鄰域同胚，即把流形定義為局部歐氏空間。這是曲線與曲面概念的高維推廣，它是代數拓撲、微分拓撲、幾何拓撲以及微分幾何研究的主要對象。 ^[1] 

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為座標卡。如果兩個座標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α(U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的座標變換。如果A的所有座標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的座標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，座標變換Φ·Φ_αΦ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的座標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(座標變換)粘貼在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的座標變換粘貼在一起。 ^[2] 

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

假設 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做 T2 空間和分離空間的原因。

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1 空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，當且僅當它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是説獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，當且僅當它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。 ^[3]