豪斯多夫空間

假設X是拓撲空間。設x和y是X中的點。如果存在x的鄰域U和y的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的(U∩V=∅)，我們稱x和y可以“由鄰域分離”。X是豪斯多夫空間如果任何兩個X的不同的點可以由鄰域分離。這是豪斯多夫空間也叫做T2空間和分離空間的原因。

X是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做R1空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，當且僅當它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是説獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，當且僅當它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

對於拓撲空間X，以下論述等價：

X是豪斯多夫空間。

X是積空間的閉集。

X中極限是唯一的(就是序列、網和濾子收斂於最多一個點)。

所有包含在X中的單元素集合都等於包含它的所有閉鄰域的交集。

對角的Δ={(x,x)|x∈X} 作為乘積空間X×X的子集是閉集。

在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間；最重要的實數是豪斯多夫空間。更一般的説，所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實上，在分析中用到的很多空間，比如拓撲羣和拓撲流形在其定義中明確的聲明瞭豪斯多夫條件。

最簡單的是T₁空間而非T2空間的拓撲的例子是餘有限空間。

偽度量空間典型的不是豪斯多夫空間，但是它們是預正則的，並且它們在分析中通常只用於構造豪斯多夫gauge空間。實際上，在分析家處理非豪斯多夫空間的時候，它至少要是預正則的，他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。

相反的，在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間，特別是作為在代數簇或交換環譜上的扎里斯基拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中: 所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數，但是這個空間不需要是預正則的，更少見豪斯多夫空間。

設X為豪斯多夫空間，則以下條件等價：

（1）X為局部緊空間；

（2）X的每點有預緊鄰域；

（3）X的預緊開集組成的基。 ^[3] 

設X為豪斯多夫空間。

X的子空間是豪斯多夫空間。

兩個非空拓撲空間為豪斯多夫空間，當且僅當其積空間是豪斯多夫空間，當且僅當其不相交併是豪斯多夫空間。 ^[2] 

X的商空間不必須是豪斯多夫空間。事實上，所有拓撲空間都可以實現為某個豪斯多夫空間的商。

X是T₁空間，這意味着所有單元素集合是閉集。類似的，預正則空間是 R0 空間。

X的緊集總是閉集。這對於非豪斯多夫空間就可能失效(例如有其失效的T₁空間的例子)。

若K是X的緊集，F是X的閉集，則F∩K是緊集。 ^[4] 

豪斯多夫空間的定義聲稱點可以由鄰域分離。它藴涵了表象上更強的東西: 在豪斯多夫空間中所有成對的不相交的緊緻集合都可以由鄰域分離。這是緊集經常表現得如同點的一般規則的一個例子。

緊緻性條件與預正則一起經常藴涵了更強的分離公理。例如，任何局部緊預正則空間都是完全正則空間。緊緻預正則空間是正規空間，意味着它們滿足烏雷松引理和蒂策擴張定理，並且有服從局部有限開覆蓋的單位劃分。這些陳述的豪斯多夫版本是: 所有局部緊豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間，而所有緊緻豪斯多夫空間是正規豪斯多夫空間。

下列結果是關於來或到豪斯多夫空間的映射(連續函數和其他)的技術上的性質。

設f:X→Y是連續函數並假定 Y 是豪斯多夫空間。則 f 的圖象 是 X × Y 的閉子集。

設f:X→Y是函數並設 是作為 X × X 的子空間的它的核。

如果f是連續函數並且 Y 是豪斯多夫空間則 ker(f) 閉集。

如果f是開滿射而 ker(f) 是閉集則 Y 豪斯多夫空間。

如果f是連續開滿射(就是開商映射)，則 Y 是豪斯多夫空間，當且僅當 ker(f) 是閉集。

如果 f,g : X → Y 是連續映射而 Y 豪斯多夫空間，則均衡子 在X是閉集。可得出如果Y是豪斯多夫空間而 f 和 g 一致於X的稠密子集，則 f = g。換句話説，到豪斯多夫空間的連續函數確定自它們在稠密子集上的值。

設f:X→Y是閉滿射使得 f−1(y) 對於所有 y ∈ Y 是緊緻的。則如果 X 是豪斯多夫空間則Y也是。

設f:X→Y是商映射帶有 X 是緊緻豪斯多夫空間。則下列是等價的

Y 是豪斯多夫空間

f 是閉映射

ker(f) 是閉集

所有正則空間都是預正則空間，也都是豪斯多夫空間。有很多拓撲空間的結果對正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候這些結果對於所有預正則空間也成立；它們對正則空間和豪斯多夫空間要分開列出，因為預正則空間的概念要來得更晚。在另一方面，這些對於正則性為真的結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況拓撲空間的其他條件(比如仿緊緻性或局部緊性)也藴涵正則性，如果它滿足預正則性的話。這種條件經常有兩個版本: 正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則性的，局部緊豪斯多夫空間是正則性的，因為任何豪斯多夫空間都是預正則性的。因此從特定角度來看，在有關這些情況的時候它實際是預正則性的，而非正則性的。但是，定義仍依據正則性來措辭，因為這些條件比預正則性更周知。

更詳細細節請參見分離公理的歷史。

術語“豪斯多夫”、“分離”和“預正則”還可以用於在拓撲空間上的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。在所有這些例子中統一的概念特徵是網或濾子(在它們存在的時候)的極限是唯一的（對於分離空間）或在拓撲同構意義下唯一的(對於預正則空間)。

這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是預正則的，所有在這些情況下豪斯多夫條件簡約為 T0 條件。還有完備性在其中有意義的空間，豪斯多夫性在這些情況下是完備性的自然夥伴。特別是，一個空間是完備的，當且僅當所有柯西網有至少一個極限，而一個空間是豪斯多夫的，當且僅當所有柯西網都有最多一個極限(因為只有柯西網可以首先有極限)。

若對任何從緊豪斯多夫空間K到X的映射

，g(K)為X的閉子集，則X是弱豪斯多夫空間。若X是弱豪斯多夫空間，則g(K)為X的緊豪斯多夫子空間。 ^[1] 

Munkres, J. R., 2000, Topology, 2nd edition, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-131-81629-2

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