複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/濾子/5898438
複製
複製成功

濾子

鎖定
濾子是一類集族，設X是集合，F是X的非空子集族，若F滿足：
1.F的任意兩個成員的交屬於F；
2.若A∈F，A⊂B⊂X，且B∈F； 則稱F為X上的濾子。為了用極限的語言刻畫拓撲，嘉當(H.Cartan)於1937年定義了濾子，布爾巴基(N.Bourbaki)詳細討論了濾子的概念，並用它討論了極限，濾子的理論也是研究極限理論的一種工具，它和網的理論是等價的。巴特爾(R.G.Bartle)以及布龍斯(G.Bruns)和施密特(J.Schmidt)於1955年分別證明了它們的等價性。設F₁，F₂為集合X上的兩個濾子，若F₁⊂F₂，則稱F₁弱於F₂或F₂強於F₁，這種強弱關係是濾子間的序關係。 [1] 
中文名
濾子
外文名
filter
所屬學科
一般拓撲學
屬    性
一類集族
創始人
昂利·嘉當
引進時間
1937年

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 例子
  3. 3 相關概念
  4. ▪ 定義1
  5. ▪ 定義2
  1. ▪ 定義3
  2. 4 相關定理
  3. ▪ 定理1
  4. ▪ 定理2
  5. ▪ 定理3
  6. ▪ 定理4
  1. ▪ 定理5
  2. ▪ 定理6
  3. ▪ 定理7
  4. ▪ 定理8

濾子定義

濾子： 設
是X的子集族，滿足：
(1)
；
(2)若
，則
；
(3)若
，則
。
則稱
為一個濾子。 [3] 

濾子例子

例1 設
是一個點網，
，令
則
是一個濾子基。事實上，對於任意兩個
，由於D是定向集，故存在一個
，使得
，容易看出，
。同時，每個
顯然非空，因此
是一個濾子基，這裏的集合
通常稱為由
確定的終止集，而
則稱為由
確定的濾子基。 [2] 

濾子相關概念

濾子定義1

若
為X的濾子基，則容易看出
是一個濾子，稱之為由
生成的濾子，而
也稱為
的濾子基。
等價定義為
濾子基： 設
為X的非空子集族，若它滿足
；
若
，則存在
使得
；
則稱
為X的一個濾子基。

濾子定義2

設
為拓撲空間X的一個濾子，
．如果
，都有
，則稱x為
的聚點。濾子
的聚點全體構成的集合記作adh
。如果對於
，則稱x為
的極限，此時也稱
在X中收斂於x，
在X中的全體極限構成的集合記作lim
。

濾子定義3

設
拓撲空間X的兩個濾子，若
，則稱
比
小(粗，或弱)，也稱
比
大(細，或強)。 [2] 

濾子相關定理

濾子定理1

設
和
是空間X的兩個濾子基，則
(1)
是一個濾子基；
(2)如果每個
,則
是一個濾子基；
(3)對每個有限子集族
，存在一個
使得
特別地，一個濾子基的有限個元素的交都是非空的。
例2 (1)設A是拓撲空間X的一個非空集合，則
顯然是一個濾子基。如果
，則
在X中收斂於a，如果
，則每個
都是
的聚點。
(2)不難驗證，拓撲空間X中點z的鄰域系N(x)是一個濾子，稱為鄰域濾子，它當然收斂於x，同時也以x作為聚點。 [2] 

濾子定理2

設
為拓撲空間X的一個濾子，則
。

濾子定理3

設
拓撲空間X的一個濾子，則
。
這一點從
的定義即可看出。

濾子定理4

如果
為Hausdorff空間X的一個收斂濾子，則
是單點集，且有關係式
例2 考慮Sierpinski空間
是一個濾子，且不難驗證，
既收斂於0，也收斂於1。
下面這個定理建立了點網和濾子之間的關係。 [2] 

濾子定理5

(1)設
為拓撲空間X的一個濾子，則存在X中的點網
使得
(2)設
是X中的任一點網，則存在X的一個濾子
使得
這個定理表明，在描述收斂性方面，點網與濾子有着相同的作用，但是，對於一個給定的情形，往往其中一種描述會優於另一種描述，或者説，其中一種描述會比另一種描述更為方便。
由定理5，容易得到下面兩個定理，其證明較為簡單。

濾子定理6

設
為拓撲空間X的一個濾子，則
中有一個
更粗的濾子
收斂於x。

濾子定理7

拓撲空間X是Hausdorff空間
X中的收斂濾子只有一個極限。
由定理5和定理1容易得到下面的定理。

濾子定理8

拓撲空間X是緊空間
X中的任一濾子
，都有
。 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002.8
  • 2.    江輝有．拓撲學：機械工業出版社，2013.03
  • 3.    Klaus Janich．拓撲學：Springer，1984