緊空間

緊空間(compact space)亦稱緊緻空間。最重要的一類拓撲空間。

若拓撲空間X的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱X為緊空間。下列條件分別與緊性是等價的：

1.具有有限交性質的閉集族有非空交。

2.具有有限交性質的集族其各成員之閉包的交非空。

3.任意網有聚點。

4.任意濾子有聚點。

5.任意極大濾子是收斂濾子。

平凡空間、有限補空間都是緊空間，但實直線不是緊的。

設X為緊空間。

X的子集不一定是緊空間，其閉集為緊空間。 ^[2] 

緊空間的連續像是緊空間。

從X到豪斯多夫空間的連續雙射為拓撲等價。

緊豪斯多夫空間是正規空間。

若f:X→ℝ為局部有界映射，則f為有界映射。

若𝔘={A_λ}_λ∈Λ為局部有限覆蓋，則𝔘為有限覆蓋。

若兩個拓撲空間的積空間為緊空間，則這兩個拓撲空間為緊空間。

兩個非空拓撲空間均為緊空間，當且僅當其不相交併為緊空間。 ^[4] 

吉洪諾夫定理：任意個緊空間的積空間為緊空間。 ^[3] 

拓撲空間為相對緊空間，或預緊空間，若其閉包為緊空間。 ^[2] 

緊性概念起源於在1894年被證明的博雷爾定理:閉區間的任意可數開覆蓋有有限子覆蓋。勒貝格(Lebesgue, H. I_.)注意到該定理對閉區間的任意開覆蓋同樣成立。博雷爾(Borel , ( F. -E. -J. - ) E.)於1903年又將此結果推廣到歐氏空間的有界閉子集上。亞尼謝夫斯基(Janiszewski, Z.)於1912年對於抽象空間曾用過緊性概念.緊空間的概念是菲托里斯(Vietoris , I.)於1921年引入的.在緊空間理論形成和發展過程中，庫拉托夫斯基(Kuratowski, K. )和謝爾品斯基(Sierpimski, W.)於1921年，薩克斯(Saks,S.)於1921年，亞歷山德羅夫(rlnexcaH}pos,日.C.)和烏雷松(ypb}coti, fl. c.)於1923年，吉洪諾夫(1'}}xouor}, t}. t1.)於193。年，都先後作出了卓越的貢獻. ^[1]