-
濾子基
鎖定
濾子基(filter base)生成濾子的一類集族。
- 中文名
- 濾子基
- 外文名
- filter base
- 學 科
- 數理科學
- 屬 性
- 一類集族
濾子基定義
濾子和濾子基的最一般的形式是定義在一般的偏序集上的。
偏序集合 (P,≤)的子集F稱為濾子基,若F滿足:
- F非空。
- ∀x, y ∈ F,∃z ∈ F,使z ≤ x且z ≤ y。
若F同時還滿足:
- F是上閉的:∀x ∈ F,y ∈ P,x ≤ y ⇒ y ∈ F。
則稱F是濾子。
濾子基相關概念和結論
濾子基真濾子
偏序集P的濾子F稱為真濾子,若F≠P。
濾子基主濾子及其主元素
包含給定元素
的最小的濾子是主濾子。
稱為該濾子的主元素。
的主濾子是:
給出,並記為
。
濾子基理想
濾子基格中的濾子
濾子最初只是為格定義的。在這種情況下,濾子可以被特徵化為如下等價陳述:
即,對於所有在F中的x,y,x∧y也在F中。
濾子基集合上的濾子
濾子的一個特殊情況是定義在集合上的濾子。假定一個集合S,偏序⊆可以通過子集包含定義在冪集P(S)上,把 (P(S),⊆)變成了一個格。定義S上的濾子F為P(S)的有如下性質的子集:
- S∈F(F非空)
- ∅ ∉F(F為真子集)
- 若A∈F且B∈F,則A∩B∈F(F對有限交封閉)
- 若A∈F且A⊆B,則B∈F中,對於所有B⊆S。(F是上閉集合)
前三個性質藴涵了集合上的濾子有有限交集性質。通過這個定義在集合上的濾子是真濾子。為此有時叫做集合上的真濾子;但是,只要集合上下文是明顯的,短名字就足夠了。
濾子基是P(S)的帶有如下性質的子集B:
- B的任何兩個集合的交集包含B的一個集合
- B是非空的並且空集不在B中
濾子基B可以通過把包含B的一個集合的P(S)的所有集合包括在內而變成(真)濾子。所以結果的濾子基經常被稱為是生成或擴張自濾子基B。所有濾子更加是濾子基,所以經過濾子基到濾子的過程可以被看做某種補全。
如果B和C是在S上的兩個濾子基,要説C細於(finer than)B(或者C是B的精細),意味着對於每個B0∈B,有一個C0∈C使得C0⊆B0。
- 對於濾子基B和C,如果B細於C且C細於B,則B和C被稱為等價濾子基。
- 對於濾子基A,B和C,如果A細於B且B細於C,則A細於C。
給定P(S)的一個子集T,我們可以問是否存在一個最小的濾子F包含T。這樣一個濾子存在,當且僅當T的子集的有限交集是非空的。我們稱T為F的子基,並稱F生成自T。F可以通過採納T的所有有限交集來構造,它就是F的濾子基。
濾子基例子
- 最簡單的濾子的例子是包括S的一個特定非空子集C的S的所有子集的集合。這種濾子叫做C生成的主濾子。
- 在無限集合S上Frechet濾子是S的有有限補元的所有子集的集合。
- 在集合X上的一致空間是在X×X上的濾子。
- 可以使用Rasiowa-Sikorski引理建立在偏序集合內的濾子,這經常用於力迫。
濾子基在模型論中濾子
對於在集合S上的任何濾子F,如下定義的集合函數
濾子基在拓撲學中的濾子
一個序列通常用作為全序集合來索引。因此,在第一可數空間中的極限可以被序列所描述。但是如果,空間不是第一可數的,則必須使用網或濾子。網推廣了序列的概念,通過簡單的要求索引集合是有向集合。濾子可以被認為是從多個網建立的集合。因為,濾子的極限和網的極限二者在概念上同於序列的極限
[1]
。
使用濾子的好處是很多結果的證明可以不使用選擇公理。
鄰域基
選取拓撲空間T和一個點x∈T。
- 要説N是在T的x上的鄰域基,就意味着對於所有V0∈Nx,存在N0∈N使得N0⊆V0。注意所有鄰域基都是濾子基。
收斂濾子基
選取拓撲空間T和一個點x∈T。
- 要説濾子基B收斂到x,指示為B→x,就意味着對於所有x的鄰域U,有B0∈B使得B0⊆U。在這種情況下,x叫做B的極限點而B叫做收斂濾子基。注意這裏用的術語“極限點”是“極限”概念到濾子基的推廣;在某些上下文中,術語“極限點”用於下面解説的簇點,並以此區別於術語“極限”。
- 對於所有x的鄰域基N,有N→x。
- 如果N是p的鄰域基而C是在T上的濾子基,則C→x當且僅當C細於N。
- 對於X⊆T,要説p是X在T中極限點,就意味着對於T中的p的每個鄰域U,有U∩(A- {p})≠∅。
- 對於X⊆T,p是X在T中的極限點,當且僅當存在在A- {p}上的濾子基B使得B→p。
聚集
選取拓撲空間T和點x∈T。
- 要説x是B在T上的聚集點,就意味着對於每個B0∈B和對於x在T中的每個鄰域U,有B0∩U≠∅。在這種情況下,B被被稱為聚集於點x。
- B是收斂濾子基,當且僅當它的下極限和上極限一致;在這種情況下它們所一致於的值是這個濾子基的極限。
- 對於濾子基B使得B→x,極限點x也是聚集點。
- 對於濾子基B有着聚集點x,x不必然是極限點。
- 對於濾子基B聚集於點x,有一個濾子基C細於會聚到x的濾子基B。
拓撲空間的性質
選取拓撲空間T。
- T是緊緻空間,當且僅當所有在X上的濾子基聚集。
- T是緊緻空間,當且僅當所有在X上的濾子基是收斂濾子基的子集。
- T是緊緻空間,當且僅當所有在X上的超濾子會聚。
拓撲空間上的函數
選取拓撲空間X和Y和子集E⊆X。選取E上的濾子基B和函數
。B在f下的像f[B]是集合
。像f[B]形成了在Y上的濾子基。
度量空間
- 選取 (xn)是度量空間X中的序列。(xn)是柯西序列,當且僅當形如{ {xn,xn+1,...}:n∈ {1,2,3,...} }的濾子基是柯西的 [2] 。
濾子基一致空間中的濾子
- 詞條統計
-
- 瀏覽次數:次
- 編輯次數:7次歷史版本
- 最近更新: 宋欣雨1206