模型論

一個模型可以形式化的定義在某種語言L的上下文中。 模型由兩個對象組成:

一個全集 U 包含所有相關的對象("論域")。

一個映射，從L到U (稱為計算映射或解釋函數)，它的定義域為該語言中的所有常數、謂詞和函數符號。

一個理論定義為一個自洽的句子的集合；通常它也定義為必須在推理規則下封閉。例如，在某種模型(如實數)下為真的所有句子的集合是一個理論。

哥德爾完備定理表明理論有一個模型當且僅當它是自洽的，也就是説沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關於理論的問題，反之亦然。不要把完備定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的自洽理論可以通過擴展一個自洽的理論得到。

緊定理説一組語句S只有在其每一個有限的亞組是可滿足的情況下才是可滿足的（即有一個模型）。在證明理論的範圍內類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的範疇內這個證明就更困難了。已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納託利·伊萬諾維奇·馬爾採夫提出的（這個更直接,並允許我們限制最後模型的基數）。

模型論一般與一階邏輯有關。許多模型論的重要結果(例如完備性和緊緻性定理)在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對於一個可數的語言，所有無限的基數都是相同的。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它説任何有一個無限模型A的理論有各種無限基數的模型，它們和A在所有語句上一致，即它們初等等價。 ^[1] 

研究形式語言與其解釋(模型)之間的關係，也就是形式語言的語法與語義之間的關係。數理邏輯的主要分支之一。模型論把形式語言中的公式、句子、理論(句子集)和模型當作數學對象，引進了近世代數中的一些概念、方法，從而模型論的一些結果和方法也被用到數學之中。因此，模型論的一些基本方法，如構造模型的常量方法，圖像方法，模型鏈，超積也已成為常用的方法。一階邏輯的模型論是模型論的基礎，事實上，任何一種邏輯系統都有各自的模型論 。 除各種邏輯的模型論外，模型論的新發展層出不窮 ； 用模型論手法來研究邏輯系統，也叫做模型論邏輯；用模型論方法比較各種邏輯系統的強弱，分析各種邏輯系統的特點，叫抽象邏輯的模型論。用遞歸論方法研究模型論問題產生遞歸模型論。只研究有限模型的構造和判定叫有限模型論 。 用模型論的思想去研究代數結構、羣、環、模、域等叫做代數模型論。研究模型分類的理論叫穩定性理論。現代模型論對計算機科學也有一定影響。 ^[1] 

數學上，模型論是研究數學對象用集合論的屬於表示數學概念的學科，或者是研究數學系統的組成模型的學科。它假定存在一些預先存在的數學對象，然後研究，給定這些對象、操作或者對象間的關係、以及一組公理時，什麼可以被證明，如何證明的問題。

選擇公理和連續統假設與集合論其他公理的獨立性(由Paul Cohen和哥德爾證明)是模型論中產生的最著名的結果。選擇公理和其逆命題都被證明和集合論的策墨羅-弗蘭克公理相容；同樣的結果對於連續統假設也成立。這些結果是公理化集合論的一部分，而那是模型論的一個特定應用。

實數的理論給出了模型論概念的一個例子。我們從個體的一個集合開始，其中每個個體都是一個實數，還有一個關係和(或)函數的集合，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我們在這種語言中有一個類似於"∃ y (y × y = 1 + 1)"的問題，那麼很清楚這個句子對於實數是真的 - 確實存在這樣的一個實數y, 也就是2的平方根；對於有理數，這個句子卻是假的。一個類似的命題，"∃ y (y × y = 0 − 1)"，在實數中是假的，但在複數中是真的，因為 i × i = 0 − 1。

模型論研究什麼是在給定的數學系統中可證的，以及這些系統相互間的關係。它特別注重研究當我們試圖通過加入新公理和新語言構造時會發生什麼。 ^[1] 

哥德爾完備性定理表明理論有一個模型當且僅當它是自洽的，也就是説沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關於理論的問題，反之亦然。不要把完備定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的自洽理論可以通過擴展一個自洽的理論得到。

緊緻性定理説一組語句S是可滿足的（即有一個模型）當且僅當S的每一個有限子集可滿足。在證明理論的範圍內類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的範疇內這個證明就更困難了。已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納託利·伊萬諾維奇·馬爾採夫提出的（這個更直接，並允許我們限制最後模型的基數）。

模型論一般與一階邏輯有關。許多模型論的重要結果(例如哥德爾完備性定理和緊緻性定理)在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對於一個可數的語言，任何理論都有可數的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它説對於任何可數的語言中的任何有一個無限模型都有一個可數的初等子模型。 莫雷(Morley)證明了著名的範疇定理，即對於可數語言的任何可數完備理論，如果它在某個不可數基數上是範疇的，則它在所有不可基數上都是範疇的。這個定理極大的刺激了模型論的發展，產生了後來的所謂穩定性理論(stable theory)。

近來模型論更加着重於對於其它數學分支，尤其是代數和代數幾何，的應用。 ^[2] 

尤其集合論(其語言可數)有可數的模型，這個被稱為Skolem佯謬，雖然它是真的(如果你接受集合論公理的話)。如果要知道為什麼它被認為是佯謬，讓我們考慮集合論中假設不可數集存在的句子-而這些句子在我們可數的模型中為真。特別的有，連續統假設要求考慮模型中的集合，它們從模型的內部看起來不可數，但對模型外的人來講是可數的。 ^[1]