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集族
鎖定
- 中文名
- 集族
- 外文名
- family of sets
- 所屬學科
- 數學
- 定 義
- 以集合為元素的集合
- 常用集族
- 環、半環、代數、σ-代數等
集族定義
集族（family of sets）是由具有某種性質的一些集合所構成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圓盤是集合，因此平面上一切圓盤所成的集合就是一個集族。又如一個集合的一切子集所構成的集合也是一個集族。
[2]
集族是以集合為元素構成的集合。集族常用花體字母表示，這裏我們使用
來表示集族。集合之間關係的定義和運算規律同樣適用於集族。如
為集族
的可列並，
。
集族幾種常用集族
集族類別 | 等價定義 | 對運算的特性 |
半環 | 對交封閉，差為有限不相交併 | |
環 | 對“U”“\”封閉 對“U”“△”封閉 對“∩”“△”封閉 對“∩”，不相交併，包含差封閉 | 對一切有限 運算封閉 |
代數 | 含X的環 對“U” 餘“ ' ’”封閉 對“∩” 餘“ ' ’”封閉 | 含X且對一切有 限運算封閉 |
σ-代數 | 對 
為代數且對不相交可列並封閉 為代數且對遞增集序列並封閉 | 含X且對一切可 列運算封閉 |
集族半環
定義1 設
為一集族，且滿足下列三個條件。
1)
2) 若
，則
3) 若
且
則
顯然若
為半環，那麼
中任二元素A，B之差
必能表為
中有限個兩兩不相交的集之並。
例1 記全體實數所成的集為R；
且
，那麼我
們把集
例2 設Rn 為n維實數空間(即n維歐幾里得空間)，又設
Rn 中全體半開閉區間構成一個半環。
例3 設X為任意集，用
(X)表示X中全體子集組成的集族，則
(X)為半環，只含
集的集族{
}亦是一個半環。
例4 設X為任意集，X中全體單點集連同
集構成一個半環。
集族環
定義2 設
為不空集族，且滿足下述條件：若
，則
，那麼我們稱
為環．換句話説：如果一個非空集族對於並及差兩種運算是封閉的，那麼它就是一個環。
例3中的集族也是環。
例5 設X是無窮集，則由X中一切有限子集組成的集族是環。
容易證明，凡環必是半環，反之半環不一定是環．上面例1，例2及例4中的集族均是半環，但它們都不是環。
定理1 設
為不空集族，則下列1) 2) 3)都是使
為環的充要條件：
1) 若
，則
，
；
2) 若
，則
，
；
3) 若
，則
，
若
且
，則
，
若
且
，則
。
推論1 若
為環，則
且
對有限個集之並，交及兩集之差，對稱差運算封閉。
集族代數
定義3 含X的環稱為代數，由定理1的推論及
顯然例3中的集族
(X)是代數。
倒6 設X是無窮集，X中全體有限子集及餘集是有限集的集所組成的集族是一個代數。
定理2 設
為不空集族，則下列命題等價：
1)
含X的環；
2)
對並及餘運算封閉，即若
，則
，
；
3)
對交及餘運算封閉，即若
，則
，
。
集族σ-代數
定義4假設
是Ω上的非空集族，如果：
(1)
；
(2)它對於補運算封閉，即
，有
；
(3)它對於可列並運算封閉，即
有
。
則稱
是Ω上的
(西格瑪)-代數(algebra)或者域(field)。
例7由 Ω和
兩個集合組成的集族是
-代數。因為它們的補和可列並運算結果仍然是Ω和
。
(2)假設A是Ω的非空子集，
是任一包含A的
-代數，那麼
稱為包含A的最小
-代數，有時也稱為由A生成的
-代數。
