柯爾莫果洛夫空間

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

柯爾莫果洛夫是蘇聯最偉大的數學家之一，也是20世紀最偉大的數學家之一，在實分析，泛函分析，概率論，動力系統等很多領域都有着開創性的貢獻，而且培養出了一大批優秀的數學家。特別的用兩次的時間來介紹他，因Kolmogorov不僅作為數學家很傳奇，更是有着豐富多彩經歷。據説他17歲左右的時候寫了一篇和牛頓力學有關的文章，於是到了Moscow（莫斯科） State University去讀書。入學的時候，Kolmogorov對歷史頗為傾心，一次，他寫了一片很出色的歷史學的文章，他的老師看罷，告訴他説在歷史學裏，要想證實自己的觀點需要幾個甚至幾十個正確證明才行，Kolmogorov就問什麼地方需要一個證明就行了，他的老師説是數學，於是Kolmogorov開始了他數學的一生。

柯爾莫果洛夫一開始並不是數學系的，據説他17歲左右的時候寫了一片和牛頓力學有關的文章，於是到了Moscow（莫斯科） State University去讀書。入學的時候，Kolmogorov對歷史頗為傾心，一次，他寫了一片很出色的歷史學的文章，他的老師看罷，告訴他説在歷史學裏，要想證實自己的觀點需要幾個甚至幾十個正確證明才行，Kolmogorov就問什麼地方需要一個證明就行了，他的老師説是數學，於是Kolmogorov開始了他數學的一生。

二十年代的莫斯科大學，一個學生被要求在十四個不同的數學分支參加十四門考試；但是考試可以用相應領域的一項獨立研究代替。所以，Kolmogorov從來沒有參加一門考試，他寫了十四個不同方向的有新意的文章。Kolmogorov後來説，竟然有一篇文章是錯的，不過那時考試已經通過了。

不説他老人家在數學上的成就了，因為實在太多，譬如説上同調環這個東西他也是獨立發現的。專心的説一下他的軼事。

Kolmogorov總是以感激的口氣提到斯大林：“首先，他在戰爭年代為每一位院士提供了一牀毛毯；第二，原諒了我在科學院的那次打架。”Kolmogorov一次在選舉會上打了Luzin（盧津）一個耳光，他説：“（打架）那是我們常用的方式。”Luzin在實變函數方面有着很重要的貢獻，但是以打架而論，遠非Kolmogorov的對手，因為Kolmogorov經常自豪的回憶他在Yaroslovl車站和民兵打架的經歷。

一個人如果打架很牛的話，經驗告訴我們他必然身體強壯，而Kolmogorov的確很擅長運動，並經常以此自詡。譬如説，他經常提到一件事情，並且深以為憾，三十年代的一個冬天，Kolmogorov身穿游泳褲雪橇，在得意的飛速下滑，碰到兩個戴相機的年輕人請他停下來，他原以為他們仰慕他的滑雪技術會為他拍照，結果他們請他為他們拍照。再譬如説，39年的時候，他突然決定在冰水中游泳以表達對自己健康體魄的高度信任，結果以住院告終，醫生一致認為他差點死掉；但是，70歲的時候，突然決定到莫斯科河裏游泳，仍然是冰水，這一次卻沒有事情。 ^[1]