微分拓撲

微分拓撲是一個處理在微分流形上的可微函數的數學領域，是研究微分流形在微分同胚映射下不變的性質的數學分支。

微分流形除了是拓撲流形外，還有一個微分結構。因此,對於從一個微分流形到另一個微分流形的映射，不僅可以談論它是否為連續，還可以談論它是否可微分。 ^[1] 

早期微分拓撲的研究可以追溯到拉格朗日(J.L.Langrange)、黎曼(B.Riemam)、龐加萊(H.Poincaré) 的不同時期。但由於數學工具的限制，相當長一段時間微分流形的研究未取得突破性進展。

直到惠特尼(H.Whitney)1935 年給出了微分流形的一般定義並證明它總能嵌入到高維歐幾里得空間作為子流形，以及凱恩斯(S.S.Cairns) 證明了微分流形的可剖分性，才使對其的研究重新興起。觸發了莫爾斯理論的產生，奇點理論這一分支的誕生。

伴隨着代數拓撲學中同調及上同調理論、纖維從理論、示性類理論以及同倫倫的研究進展，1953 年託姆(R.Thom) 建立了協邊理論，開創了微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，使得許多困難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解決，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。

1956 年米爾諾(J.w.Milnor) 發現 7 維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。

隨後，凱瓦雷(M.A.Kervaire) 構造出了不能賦以任何微分結構的流形。這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段線性流形這三個範時有大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支，並進入20 世紀數學發展的主流。

1960 年斯梅爾(S.Smale) 證明了5 維以上微分流形的龐加萊猜想。米爾諾(J.W.Milnor )等發展了處理微分流形的基本方法--剜補術，導致手術理論的產生，使得 5 維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數化。

近 30 多年以來，在微分流形的研究中，突出的領域如流形的上述三大範時之間的關係以及三維、四維流形的分類。80 年代初的重大成果有：弗裏德曼(M.H.Freedman) 證明了四維龐加萊猜想，以及 4 維歐幾里得空間及4 維流形上有不同尋常的微分結構的發現等。2003 年佩雷爾曼(G.Perelman)宣佈證明了三維龐加萊猜想。 ^[2] 

很自然地，它是在研究微分方程理論的過程中被提出來的。微分幾何是用微積分來研究幾何的學問。這些領域非常接近，在物理學，特別在相對論方面有許多的應用。他們合在一起還建立了可從動力系統觀點直接研究的、可微流形的幾何理論。

微分拓撲雖是不同於代數拓撲的一個獨立的數學分支，但它與代數拓撲的關係極為密切。解決微分拓撲問題的許多基本工具，例如同調羣、同倫羣、拓撲K-理論以及多種示性類等代數不變量都是從代數拓撲中借用過來的。微分拓撲的奠基人是 H.惠特尼，它研究的主要課題有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、協邊理論等。 ^[1]