向量叢

向量叢π:E→M為纖維為向量空間的纖維叢。 ^[4] 

設ξ=π:E→M為向量叢。

ξ的歐幾里得度量為(ξ⊗ξ)*的截面s，滿足對M中任意b，s(b)為纖維E_b的內積。

任意向量叢均允許存在歐幾里得度量。

拓撲空間M的切叢TM的歐幾里得度量，稱為M的黎曼度量，並稱M具有黎曼結構，定義了黎曼結構的流形稱為黎曼流形。 ^[3] 

向量叢為可平行流形，若其為平凡叢。 ^[5] 

復向量叢η的複共軛為

。

實向量叢η的復化c(η)的纖維空間為ℂ⊗_RF，結構羣為G×G。

復向量叢η₁的實化r(η₁)滿足cr(η₁)=η⨁

，rc(η)=η⨁η。 ^[6] 

設ξ為n維光滑流形B上的n階向量叢。B可被n+1個集U₀,...,U_n覆蓋，使得限制ξ|_Ui為平凡叢。

設ξ為B上n階向量叢，γ_n,k為格拉斯曼流形G_n,k上的n階萬有叢，當l足夠大時，存在映射f:B→G_n,l，滿足ξ≅f*γ_n,l。G_n,l稱為分類空間，f稱為分類映射。

設B為k維光滑流形，則存在雙射Vect_n(B)↔[B,G_n,n(2k+1)]，其中Vect_n(B)為B上向量叢ξ的等價類，[B,G_n,n(2k+1)]為ι∘f的同倫類，f:B→G_n,k為ξ的分類映射，ι:G_n,nk→G_n,n(2k+1)為包含映射。 ^[5] 

一個從向量叢π₁:E₁→X₁到向量叢π₂:E₂→X₂的態射（morphism）是一對連續映射f:E₁→E₂和g:X₁→X₂使得 ^[2] 

所有向量叢的類和叢的射組成了一個範疇。限制到光滑流形和光滑叢射，我們就有了光滑向量叢的範疇。

我們可以考慮有一個固定底空間X的所有向量叢組成的範疇。我們取那些在底空間X上為恆等映射（identity map）的射作為在這個範疇中的射. 也就是説，叢射滿足下面的交換圖：

（注意這個範疇不是可交換的；向量叢的射的核通常不能很自然的成為一個向量叢。）

給定一個向量叢π:E→X和一個開子集U,我們可以考慮π在U上的截面，也就是連續函數s:U→E滿足πs= id_U.本質上，截面給U的每一點一個從附在該點的向量空間中所取的向量，取值要有連續性。

例如，微分流形的切叢的截面就是流形上的向量場。

令F(U)為U上所有截面的集合.F(U)總有至少一個元素：把V中的x映射到π（{x}）的零元的函數s.使用每點的加法和數乘，F(U)本身也成為了向量空間.這些向量空間的總和就是X上的向量空間的層。

若s屬於F(U)而α:U→R是一連續映射，則αs屬於F(U).我們可以看到F(U)是一個U上的連續實值函數的環上的模。進一步講，若O_X表示X上連續函數的層結構，則F是O_X-模的一個層。

不是O_X-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的：只有局部自由層可以從這種方法得到。（理由：局部的，我們要找一個投影U×R→U的一個截面，這些恰好是連續函數U→R,並且這一函數是連續函數U→Rn-元組.）

更進一步講：X上的實向量叢的範疇是等價於O_X-模的局部自由和有限生成的層的。

所以我們可以將向量叢視為位於O_X-模的層的範疇內；而後者是可交換的，所以我們可以計算向量叢的射的核。

兩個X上的在同一個域上的向量叢，有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣，纖維向量積和對偶空間叢也可以這樣引入。

向量叢是纖維叢的特例。

光滑向量叢定義為滿足E和X是光滑流形，π:E→X是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量叢。

把實向量空間換成復的，就得到了復向量叢。這是結構羣的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間，但相對比較少見。 ^[1] 

如果我們允許在局部平凡化中使用任意巴拿赫空間（而不僅是R），就可以得到巴拿赫叢。