格拉斯曼流形

格拉斯曼流形是與歐氏空間相關的一種特殊流形。 ^[1] 

設W是n維向量空間，考慮W中全體通過原點的k維子空間構成的集合G=Grass(k,W)，因為G上有自然的流形結構，所以我們將它稱為格拉斯曼流形。

^[3] 

格拉斯曼流形的維數是k(n-k)。

格拉斯曼流形為緊流形。

n維實正交羣O(n)在實格拉斯曼流形

上的作用傳遞，故實格拉斯曼流形是O(n)的齊性空間，穩定子羣為O(k)×O(n-k)。n維酉羣U(n)在復格拉斯曼流形

上的作用傳遞，故復格拉斯曼流形是U(n)的齊性空間，穩定子羣為U(k)×U(n-k)。 ^[2] 

故有

分類空間

。 ^[3] 

格拉斯曼流形到高維射影空間有一個自然的全純的浸入。其在射影空間中的像可以用普呂克座標來表示。

格拉斯曼流形在一點K處的切空間為T_K=Hom(K,W/K)，這裏K就是W中的一個k維子空間，Hom(A,B)是指線性空間A到B的所有線性映射之全體。 W/K是指K的補空間。

格拉斯曼流形在研究VHS(Variation of Hodge Structure, 變動Hodge結構)中的週期映射問題上有着重要作用。

一個典型的格拉斯曼流形是拉格朗日-格拉斯曼流形。