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週期映射
鎖定
週期映射是Hodge理論中的重要概念,由
大數學家 Griffith(格列菲斯)首先引入。它主要反映了一族具有Hodges結構的緊
複流形(特別是Kaehler流形)隨着參模位置變化時,其Hodges結構是如何變化的。
週期映射具體定義
設Φ: χ→B 是由一族以B上點為參模的緊
複流形構成的簇。換句話説,Φ是一個
全純的正常(Proper)
淹沒, 對B上每個點b,
纖維 X_b=Φ^{-1}(b) 是一個n維的
緊緻 複流形。
在中心纖維X_0附近,每個纖維X_b都是彼此
微分同胚的,因此他們具有相同的DeRham(
德拉姆)
同調羣 : H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C). 這裏C是複數域。
假設X_0上有Hodge
濾過(Hodge filtration)F^pH^k(X_0,C):
F^0H^k(X_0,C) >F^1H^k(X_0, C)>......>F^kH^k(X_0,C),
b^{p,k}表示向量空間F^pH^k(X_0,C)的維數。
那麼對中心纖維附近的其它纖維X_b也有相應的Hodge濾過 ,且對應的b^{p,k}保持一致。
因此當b∈B在0附近微小的變動時, F^pH^k(X_b,C) 作為
線性空間 H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C)的
線性子空間, 在隨着b作連續的轉動。 換句話説, 隨着b的變動, F^pH^k(X_b,C)作為
格拉斯曼流形 Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) 中的點,也在變動。
週期映射就是反應這種變動的映射。 具體寫為
Ρ^{p,k}:B→Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) .
週期映射具體性質
格里菲斯證明了週期映射是
全純映射, 並且導出了其切映射(即
切空間之間的映射)的具體表示。我們會發現,這一切映射可以通過Kodaira-Spencer(
小平邦彥 --斯潘色)映射誘導, 它反映了模空間在這一點處的切空間方向。
週期映射應用到
代數曲面的
纖維化 , 就和代數曲線的很多經典定理聯繫起來, 特別是著名的Torelli定理。 這個定理是説,如果兩條曲線有相同的極化Hodge結構(Polarised HS),那麼它們必定同構--換句話説,在典範基下,它們有相同週期矩陣, 那麼必同構。