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線性子空間

線性子空間（又稱向量子空間，簡稱子空間）是線性空間中部分向量組成的線性空間。設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間。^[1]

線性子空間定義

定義設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間（或向量子空間），或簡稱子空間。^[2]

注：1.V的非空子集W是子空間的充分必要條件是：

（1）子集合W的任意兩個向量α與β之和α+β仍是W中的向量；

（2）域P的任一數k與子集合W的任意一個向量α的積kα仍是W中的向量。

2.在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間。

3.線性空間V自身與單獨一個零向量都是V的線性子空間。這兩個特殊的子空間稱為V的平凡子空間；除平凡子空間外的線性子空間稱為V的非平凡子空間。^[2]

例1 設域是R，向量空間V是歐幾里得空間。取W為最後的分量是 0 的V中所有向量的集合。則W是V的子空間。

證明：顯然W非空，且

給定W中u和v，它們可以表達為u= (u₁,u₂,0) 和v= (v₁,v₂,0)。則u+v= (u₁+v₁,u₂+v₂,0+0)= (u₁+v₁,u₂+v₂,0)。因此u+v也是W的元素。
給定W中u和R中標量c，如果u= (u₁,u₂,0)，則cu= (cu₁,cu₂,c0)= (cu₁,cu₂,0)。因此cu也是W的元素。

例2 設域是R，向量空間V是是歐幾里得空間。取W為V的使得x=y的所有點 (x,y) 的集合。則W是R的子空間。

證明：顯然W非空，且

設p= (p₁,p₂) 且q= (q₁,q₂) 是W的元素，就是説，在平面上的點使得p₁=p₂且q₁=q₂。則p+q= (p₁+q₁,p₂+q₂)；因為p₁=p₂且q₁=q₂，則p₁+q₁=p₂+q₂，所以p+q是W的元素。
設p=(p₁,p₂) 是W的元素，就是在平面中點使得p₁=p₂，並設c是R中的標量。則cp= (cp₁,cp₂)；因為p₁=p₂，則cp₁=cp₂，所以cp是W的元素。