複流形

d維複流形為2d維光滑流形，其座標卡局部微分同胚於

，且不同座標卡之間的轉移函數為全純函數。 ^[3] 

設 M 為具有可數基的仿緊空間，在 M 上有開覆蓋

，使得對每個開子集

，存在

到 n 維復歐幾里得空間

中開集上的同胚

。

因此對開子集

中每一點 p，存在局部座標

。

稱為標架，

稱為座標系。當

，則開子集

中任一點 p 有兩種座標

由於

和

為同胚，於是有局部座標 z 和 w 之間的一一對應關係

：

這是

（

）到

（

）上的映射，如果

是全純同構映射，則拓撲空間M稱為n維複流形。

單複變函數論中的全純函數的反函數經常出現多值情形，因此定義域便從複平面擴產到黎曼曲面，使得在黎曼曲面上這個全純函數的反函數單值化。無支點的黎曼曲面的推廣，就是複流形。

注意，n維複流形是一類特殊的2n維實流形，即具有復結構J的2n維實流形。上面提到黎曼曲面是由全純函數的反函數單值化產生的。而在多復變情形，從解析開拓的角度，可以看出復歐幾里得空間中的域上的全純函數，在作解析開拓後，會產生複流形。所以有些函數論問題，僅侷限在n維復歐幾里得空間

上考慮是不夠的，必須擴產到複流形上討論。這就是為什麼在多複變函數論中，複流形的概念是不可缺少的。關於複流形的研究，緊複流形比一般情形要成熟些。 ^[1] 

作為一維的複流形的黎曼面的研究有着悠久的歷史，而一般複流形的研究從20世紀40年代才開始。

現今，它已成為近代數學中十分重要的概念和課題。

考慮R³中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極所得到的兩個座標開集所覆蓋。用關於北極的球極投影得到一個座標映射，而關於南極的球極投影后再取共軛複數又得到另一個座標映射。這樣，單位球面也構成一維複流形，稱為黎曼球面。

對復射影空間CPⁿ描述如下：設Cⁿ⁺¹是復n+1維的複線性空間，Cⁿ⁺¹\{0}是從Cⁿ⁺¹中去掉原點後所得到的空間。對於其中任意兩個點z=(z₀,...,z_n)和w=(w₀,...,w_n),如果存在非零複數λ∈C\{0} 使z=λw，則稱z和w等價，按照這個等價關係所得到的商空間記做CPⁿ，它是一個n維的複流形。Cⁿ⁺¹中的點(z₀,...,z_n)所在的等價類，被看成是CPⁿ中的點，記做(z₀:...:z_n)，稱為齊次座標。直觀地説，CPⁿ就是Cⁿ⁺¹中所有過原點的復直線（即二維實平面）的集合。

對CPⁿ中的任一點p，設(z₀(p):...:z_n(p))是它的齊次座標，那麼{(z₀,...,z_n);|z₀|²+...+|z_n|²=1}是Cⁿ⁺¹中以原點為中心的單位球面S²ⁿ⁺¹上的一點。我們知道，S²ⁿ⁺¹的子集{(λz₀,...,λz_n);|z₀|²+...+|z_n|²=1,|λ|=1,λ∈C}是S²ⁿ⁺¹上的一個大圓。給定p點，即點(z₀(p):...:z_n(p))，它所確定的S²ⁿ⁺¹上點的全體恰好組成了一個大圓，因此CPⁿ也可看成S²ⁿ⁺¹中的大圓的全體。

當n=1時，CP¹和黎曼球面S²是雙全純等價的。 ^[2]