多複變函數論

多複變函數論簡稱多復變。它是研究多個獨立復變數的全純函數性質的學科，單複變函數論是研究複平面及黎曼曲面中的域上的解析函數的性質，多複變函數論則是研究n(n≥2)個獨立復變量z=(z₁,z₂,...,z_n)的全純函數

的性質。為此，首先要將複平面推廣到復歐氏空間，將黎曼曲面推廣到複流形及復空間，然後研究它們的域上的全純函數的性質。

大多數單複變函數論中的結果，無法平行地推廠到多複變函數的情形，在這種情形下，經典問題有什麼新提法、新形式和新結果，又有什麼新的問題，這正是多複變函數論所要研究的，

另一方面，多複變函數論又有着大量的應用，所以多復變數函數論是一個富有生命力的數學分支。

就工具而言，由於多複變函數論中問題的複雜性，所以涉及拓撲、微分方程、微分幾何、代數幾何、抽象代數、李羣和泛函分析，以及實變函數論和複變函數論的大量概念和方法，且有自己獨特的處理辦法。

多複變函數論有很多不同的研究方向，大體上有：

1.積分表示，

2.算子理論，

3.奇點理論，

4.值分佈理論，

5.逼近理論，

6.函數空間理論和調和函數論，

7.全純開拓，

8.施坦流形理論，

9.雙全純映射的幾何理論，

10.域的分類理論，

11.自守函數論，

12.亞純函數和亞純映射理論，

13.復空間理論等。

從歷史上來看，真正使多複變函數論成為一門獨立學科的，是源於19世紀末和20世紀初龐加萊、哈託格斯(Hartogs,F.M.)、庫辛(Cousin,P.)和列維(Levi,E.E.)等人的出色的工作。

龐加萊首先發現，在C²中球和多圓柱不是全純等價的，這説明單復變中著名的黎曼映射定理在多復變中不再成立；哈託格斯則發現在Cⁿ中存在這樣一類域，其上的所有全純函數都可以全純開拓到比它更大的域上去，這在單復變中是不可能的；庫辛提出的以他的名字命名的單復變中的米塔-列夫勒(Mittag-Leffler,(M.)G.)定理和外爾斯特拉斯定理在多復變中的推廣的兩個問題和列維提出的擬凸域是否全純域的問題更是長期以來推動着多複變函數論的發展。

20世紀30年代出現的嘉當(Cartan,H.)關於全純自同構的惟一性定理和有界域的全純自同構羣是李羣的出色工作，特別是岡潔(Oka,K.)對庫辛問題和列維問題的深入研究，導致20世紀50年代對上述問題的最終解決。

具體地説，1936年，岡潔首先在多項式凸域上，稍後，他於1937年在一般的全純凸域上解決了庫辛第一問題；1942年，列維問題首先由岡潔在C²中解決；後來，岡潔於1953年，布雷默爾曼(Bremermann,H.J.)於1954年，諾蓋(Norguet,F.)於1954年獨立地解決了任意維數的中的列維問題。1958年，格勞爾特(Grauert,H.)用凝聚解析層的理論解決了複流形上的列維問題。

到了20世紀60年代中葉，科恩(Kohn,J.J.)和赫爾曼德爾利用

算子的L²估計，證明了在擬凸域上

問題有解，從而可以容易地解決列維問題和庫辛第一、第二問題。1970年，辛欽(Henkin,G.M.)得到強擬凸域上

問題解的積分表示，由它不難得到問題解的L^∞估計。

自此以後，積分表示和一些“硬分析"中的問題，諸如邊界性質、復切現象、零點集的刻畫等問題又吸引眾多的多複變函數論的研究者。

1980年，路丁(Rudin,W.)的《Cⁿ中球上的函數論》出版後，又引發了眾多的學者去研究球上的函數論。作為有界對稱域和強擬凸域的最簡單的模型，球上函數論的進展又推動着有界對稱域和強擬凸域上函數論的進一步發展。 ^[1]