外爾斯特拉斯定理

這個定理最早由伯納德·波爾扎諾證明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的證明已經散佚。卡爾·魏爾施特拉斯獨自發現並證明了這個定理。波爾扎諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理可以視為刻畫有限維實向量空間{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中序列緊緻集合的定理。波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理的核心部分可以僅僅使用序列的語言來表示：

定理 1：

任一

中的有界序列

都至少包含一個收斂的子列。

從這個定理出發，在給定的有界閉集F中任取一個序列，那麼這個序列是有界的，從而至少包含一個收斂的子列。而從F的封閉性可知，這個子列作為F的一部分，其收斂的極限必然也在F中。所以可以推知：

推論：

任一

中的有界閉集必然序列緊緻。

這個推論給出了

中集合序列緊緻的充分條件。另一方面，可以證明序列緊緻的集合必然是有界閉集。這樣就將充分條件推進為充要條件：

定理 2：

中的一個子集E是序列緊緻的，當且僅當E是有界閉集。由於有限維賦範向量空間都與裝備了歐幾里德範數的同胚，所以以上的定理都可以擴展到任意有限維賦範向量空間。

在有限維度量空間中，波爾查諾－魏爾斯特拉斯説明了序列緊緻的集合就是有界閉集。然而在一般的度量空間中，有界閉集不一定是序列緊緻的。為此，拓撲學中將一般度量空間中的序列緊緻稱為波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質。

定義：

設K為度量空間

的子集。若K中任一序列

都包含一個收斂的子列，其極限也是K中元素，就稱K具有波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質。

如果度量空間本身滿足波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質，就稱這個度量空間為緊空間。在度量空間中，波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質等價於海恩－波萊爾性質：所有K的開覆蓋都有限子覆蓋。 ^[1]